Задача 11. Вычислить 
.
Решение. При интегрировании иррациональных выражений вида 
(здесь R — рациональная функция; 
- целые числа) подстановка 
,
где к — наименьшее общее кратное знаменателей 
, позволяет избавиться от иррациональности. В данном случае
Наименьшее общее кратное этих
чисел равно 6. Применяем подстановку 
Тогда 
и
Возвращаясь к переменной х с учетом того, что 
, получим
Задача 12. Вычислить 
.
Решение. При вычислении интегралов вида 
, где R — рациональная функция, используется
универсальная тригонометрическая подстановка 
, приводящая к интегралам от рациональных относительно
t функций, при этом
, 
.
Из равенства находим 
.
В данном случае получаем
Сделаем замену 
Тогда 
Возвращаясь к переменной х, получим
Задача 13. Вычислить 
.
Решение. Интегралы вида 
, 
, 
, где R — рациональная функция, приводятся к интегралам
вида , если выполнить замену
переменной:
- для первого интеграла 
(или 
);
- для второго интеграла 
(или 
);
- для третьего интеграла 
(или 
).
Данный интеграл вычисляем заменой 
.
Тогда 
.
Получаем
.
,
тогда
Возвращаясь к старой переменной при 
, получаем
Задача 14. Вычислить 
Решение. Для вычисления интеграла разложим подынтегральную функцию — дробь
— в сумму простейших дробей. Множителю 
соответствует сумма двух простейших дробей 
, а множителю 
- дробь 
.
Тогда подынтегральная функция будет иметь вид
Правую часть равенства приведем к общему знаменателю (он должен быть равен знаменателю левой части равенства) и приравняем числители получившихся дробей:
.
Найдем А, В, С. Сначала применяем метод частных значений. Равенство должно
выполняться при любых х, поэтому подставим вместо х «хорошие» числовые значения
(обращающие часть скобок в 0). Здесь это 1 и -2. При 
получим 
и 
. При 
равенство принимает вид 
, а 
. В найдем методом неопределенных коэффициентов, согласно
которому приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой
частях равенства. Например, при 
. Тогда 
.
Итак, 
Вычисляем интеграл
