Ряды
Задача 21. Определить, какие ряды сходятся:
А) 
Б) 
В) 
Решение.
1. К ряду 
применим радикальный признак Коши: если 
, то положительный ряд 
сходится при 
и расходится, когда 
Так как 
, то ряд расходится.
2. Рассмотрим ряд 
Проверим необходимое условие сходимости: если ряд
сходится, то 
.
Поскольку 
, необходимое условие не выполняется, значит, ряд расходится.
3. При исследовании сходимости ряда 
можно воспользоваться предельным признаком сравнения положительных
рядов: если существует конечный и отличный от нуля предел 
то положительные ряды и 
одинаковы в смысле сходимости.
Для сравнения возьмем обобщенный гармонический ряд
, сходящийся при 
и расходящийся для 
При 
получим сходящийся ряд 
.
Применим теорему сравнения
Предел конечен и отличен от нуля, поэтому ряд также сходится.
Задача 22. Исследовать на сходимость ряды:
1) 
2) 
Решение.
1. Рассмотрим ряд 
.
Он знакочередующийся. К таким рядам применим признак Лейбница. Знакочередующийся ряд
сходится при условии:
1) 
2) .
Так как 
и 
, условия признака Лейбница выполняются, значит, ряд сходится.
Если знакопеременный ряд сходится, то эта сходимость называется абсолютной
или условной в зависимости от того, сходится или расходится соответствующий
ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда. Составим ряд из абсолютных
величин
.
Получили положительный ряд. Применяем к нему достаточный признак сходимости
— признак Даламбера: если 
то положительный ряд 
сходится при и расходится, когда 
Поскольку
,
ряд 
сходится, следовательно,
ряд 
сходится абсолютно.
2. Рассмотрим ряд 
.
Условия признака Лейбница выполняются:
1) 
2) 
Значит, ряд сходится. Исследуя ряд на абсолютную сходимость, составим ряд
из абсолютных величин 
Применяем интегральный признак сходимости
Маклорена-Коши: положительный ряд сходится или расходится в зависимости от того, сходится
или расходится 
(здесь 
при 
- непрерывная, положительная и монотонно убывающая
функция, такая что 
).
Вычисляем
Это означает, что несобственный интеграл расходится, тогда расходится ряд
, а исходный ряд 
сходится условно.
Отметим, что при исследовании сходимости ряда
можно было использовать предельный признак сходимости (см. задачу 21).
