Пример 2. Составить канонические уравнения: а) эллипса, большая ось которого
равна 5, а фокус находится в точке F(3,0); б) гиперболы с мнимой осью в=3
и 
; в) параболы, имеющей директрису
x=-3.
а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид 
. По условию задачи большая полуось а=5, с=3.
Для эллипса выполняется равенство 
. Подставив значения а и с, найдем в2=16. Искомое уравнение
эллипса:
.
б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид 
. По условию задачи мнимая полуось в=3, эксцентриситет
. Для гиперболы справедливо
равенство 
и учитывая, что 
, находим а2 = 16. Искомое уравнение гиперболы:
.
в) Каноническое уравнение параболы в данном случае имеет вид y2=2px, а уравнение
ее директрисы 
. По условию x=-3, следовательно, 
, уравнение параболы имеет вид 
.
Пример 3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(2,1,0), B(3,-1,2),
C(13,3,10), D(0,1,4). Найти: 1) угол между ребрами AB и AD; 2) уравнение плоскости
АВС; 3) угол между ребром AD и гранью АВС; 4) площадь грани АВС; 5) объем
пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины AD на грань АВС.
1) Угол между ребрами AB и AD вычисляем по формуле:
,
где
.
;
.
2) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки имеет вид:
.
Подставляя в данное уравнение координаты точек А,В и С, получим:
Разложив определитель по элементам первой строки, получим:
,
отсюда находим искомое уравнение плоскости АВС:
.
3) Угол между ребром AD и гранью АВС вычисляем по формуле:
,
где 
- направляющий вектор
ребра AD, 
- нормальный вектор грани АВС.
.
4) Площадь грани АВС вычисляется по формуле:
.
.
.
.
Окончательно имеем
5) Объем пирамиды вычисляем по формуле:
.
.
Объем пирамиды равен 24 (куб. ед.).
6) Уравнение высоты DM, опущенной из вершины D на грань АВС составляет по формуле
,
где (x0, y0, z0) — координаты точки D, 
- координаты направляющего вектора прямой DM.
Т.к. DM ^ АВС, то в качестве направляющего
вектора 
можно взять нормальный
вектор . Уравнение прямой
Dm запишется в виде:
.
