Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши 
.
Решение.
Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые
три отличные от нуля значения 
. По условию задачи 
Выразим из уравнения 
:
Найдем 
, продифференцировав
обе части равенства 
по 
:
Окончательно получим:
.
Пример 5. Разложить данную функцию в ряд Фурье
в интервале (-2, 2):
по синусам на интервале
.
Решение.
Разложение периодической (период 
) функции имеет вид:
а) В нашем примере l=2.
где 
Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.
;
Используя формулу интегрирования по частям, получаем
.
Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.
Аналогично предыдущему
и окончательно получим:
Подставляя полученные значения 
в разложение 
, получим:
б) Продолжим функцию на отрезок 
нечетным образом (рис. 1).
Рис. 1
Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только синусы,
т.е. 
.
Найдем коэффициенты 
, используя формулу:
Для вычисления первого и третьего интегралов используем метод интегрирования по частям:
.
Таким образом, 
.
