Приложения производной
Задача 9. Исследовать функцию у=
и построить ее график.
Решение. Исследование функции проведем по следующей схеме:
1. Найдем область определения функции.
2. Исследуем функцию на непрерывность.
3. Установим, является ли данная функция четной, нечетной.
4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.
5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.
6. Найдем асимптоты кривой.
Реализуем указанную схему:
1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х=1.
2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервалах (−∞; 1) и (1; ∞).
3. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость
равенств 
=
(тогда f(х) — четная функция) или
= 
(для нечетной функции) для любых х и −х
из области определения функции:
=
, =− 
Следовательно, 
и , то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:
у'=
у'=0 при 
и у' − не существует при 
. Тем самым имеем две критические точки: 
Но точка 
не принадлежит области определения функции, экстремума
в ней быть не может.
Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 5): (−∞; 0), (0; 1), (1; ∞).
В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно,
здесь функция убывает; во втором интервале — положительная и данная функция
возрастает. При переходе через точку первая производная меняет свой знак
с минуса на плюс, поэтому в этой точку функция имеет минимум: уmin=y(0)=−1.
Значит, А(0; −1) − точка минимума.
На рис. 5 знаками +, −указаны интервалы знакопостоянства производной у', а стрелами — возрастание и убывание исследуемой функции.
5. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:
у''=−
Рис. 5
у''=0 при 
и у''− не существует при . Разобьем числовую ось на три интеграла (рис.
6); (−∞; −
), (−; 1), (1; ∞). На первом интервале вторая
производная у''=0 при − абсцисса точки перегиба.
Следовательно, В
- точка перегиба графика функции.
6. − точка разрыва
функции, причем 
.
Поэтому прямая является вертикальной асимптотой графика. Для определения
уравнения наклонной асимптоты 
воспользуемся формулами:
, 
.
Тогда
,
.
Значит прямая у=0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 7.
Рис. 7
