Контрольная работа №4
Дифференциальные уравнения. Ряды.
Теория вероятностей и математическая статистика
Основные теоретические сведения
1. Уравнение вида 
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися
переменными. Его общим интегралом будет
.
2. Дифференциальное уравнение 
называется однородным относительно переменных 
и 
, если 
– однородная функция нулевого измерения относительно своих
аргументов, т.е. 
. данное уравнение с помощью замены 
сводится к уравнению с разделяющимися
переменными.
3. Уравнение 
называется линейным дифференциальным уравнением. Общее
решение уравнения находим по формуле
.
4. Уравнение вида
, (1)
где 
и 
–
постоянные числа называется линейным однородным дифференциальным уравнением
второго порядка. Квадратное уравнение 
называется характеристическим уравнением.
Если корни 
, 
характеристического уравнения действительны и различны,
то общий интеграл уравнения (1) выражается формулой
.
Если 
, то общий интеграл
уравнения (1) находится по формуле
.
Если 
, то общее решение
уравнения (1) находится по формуле
.
5. Уравнение вида
, (2)
называется неоднородным линейным уравнением второго порядка. Если 
— общее решение соответствующего однородного уравнения, 
– частное решение уравнения (2), то общее решение уравнения
(2) имеет вид 
.
Укажем правило нахождения частного решения уравнения (2) методом неопределенных коэффициентов.
Пусть 
, тогда:
1) 
, если 
не является корнем характеристического уравнения;
2) 
, если
является простым корнем характеристического уравнения;
3) 
, если
является двукратным корнем характеристического уравнения.
Пусть 
, тогда:
1) 
, если число 
не является корнем характеристического уравнения;
2) 
, если число
не является корнем характеристического уравнения.
6. Ряд вида
(3)
называется степенным рядом, 
– коэффициенты ряда. Число 
называется радиусом сходимости ряда, если ряд
(3) сходится при 
и расходится
при 
.
При 
ряд может как сходиться,
так и расходиться. Интервал 
называется интервалом сходимости ряда. Радиус сходимости
находится по формуле
.
7. Рядом Фурье периодической функции 
, 
, называется ряд вида
.
Коэффициенты Фурье 
вычисляем по формулам 
,
, 
.
Пример 1. Найти решение системы дифференциальных уравнений методом характеристического уравнения.
Решение. Частное решение системы будем находить в следующем виде 
.
Требуется определить постоянные К1, К2 и λ так, чтобы функции x(t), y(t)
удовлетворяли заданной системе уравнений. Подставляя их в систему и сокращая
на 
, получим систему уравнений:
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:
, 
– корни характеристического уравнения.
Корню соответствует система
или 
.
Полагаем 
, тогда 
. Получаем решение системы:
.
Корню соответствует система
или 
.
Получаем , тогда 
. Получим решение системы:
.
Общее решение исходной системы имеет вид
