Ряды
Задача 14. Написать первые три члена ряда 
, найти интервал сходимости ряда и исследовать
его сходимость на концах интервала.
Решение. Беря последовательно n = 1, 2, 3, …, запишем данный ряд в виде:
Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера
.
Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях x, которые удовлетворяют неравенству
, или 
,
или 
.
Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При 
данный ряд принимает вид 
.
Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при n→ ∞ . Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит,
принадлежит области сходимости
данного ряда.
При 
данный ряд принимает
вид 
. Исследуем сходимость
Коши. Рассмотрим несобственный интеграл
.
Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд.
Значит, при x = 
исходный ряд сходится.
Таким образом, 
- область сходимости данного ряда .
Задача 15. Вычислить 
с точностью до 0,001.
Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив
x в разложении функции sin x на 
, имеем:
Тогда
.
Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как четвертый его член по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения заданной точности достаточно взять первые три члена. Тогда
.
Вопросы для самопроверки
Что называется числовым рядом?
Что называется n-й частичной суммой числового ряда?
Какой числовой ряд называется сходящимся?
Что является необходимым условием сходимости числового ряда?
Назовите достаточные признаки сходимости, основанные на сравнении рядов.
Назовите признак Даламбера сходимости рядов.
В чем состоит интегральный признак сходимости Коши?
Какие ряды называются знакочередующимися? Приведите примеры.
Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
Какие знакочередующиеся ряды называются абсолютно сходящимися? Условно сходящимися?
Дайте определение степенного ряда и области его сходимости.
Как найти область сходимости степенного ряда?
Запишите разложение в степенной ряд функций 
, sin x, cos x,
, ln (1+x) .
Как обеспечивается требуемая точность при применении степенных рядов в приближенных вычислениях?
