Задача 23. Найти область сходимости функционального ряда
Решение. Это частный случай функционального ряда — степенной ряд вида 
Радиус сходимости R такого ряда можно найти по одной из формул:
или 
.
Интервал абсолютной сходимости степенного ряда определяется неравенством
. Вне этого интервала, при
ряд расходится. На концах
интервала — в точках 
поведение ряда исследуется особо.
Находим радиус сходимости для заданного ряда по первой формуле. Так как
, получаем
Тогда ряд сходится, если 
, откуда 
, то есть 
.
Исследуем сходимость ряда в точках 
и 
.
При исходный ряд принимает
вид
Это обобщенный гармонический сходящийся ряд (
сходится, если 
).
При получаем знакочередующийся
ряд 
Этот ряд сходится (притом
абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных величин его членов:
Итак, исходный ряд сходится для всех 
.
Задача 24. Найти коэффициенты 
и 
разложения в ряд Фурье функции
.
Записать это разложение.
Решение. Воспользуемся формулами (36), (37) разложения в ряд Фурье функции
, заданной на отрезке 
:
,
где
Найдем коэффициенты 
и . Так как 
, получим
Так как 
можно заменить более
простой функцией 
, получим 
.
Подставляем найденные коэффициенты в ряд Фурье:
Задача 25. Найти коэффициенты разложения в ряд Фурье по синусам функции
.
Решение. Коэффициенты разложения функции в ряд Фурье по синусам определяются
по формуле (41):
Тогда
Так как 
, получим
