Контрольная работа №3
Функции нескольких переменных. Кратные интегралы. Теория поля.
Основные теоретические сведения
1. Частной производной первого порядка функции двух переменных 
по аргументу 
называется предел
.
Обозначение: 
, 
. Нахождение сводится к дифференцированию функции одной переменной
, полученной при фиксировании
аргумента 
2. Скалярным полем 
называется скалярная функция точки 
вместе с областью ее определения.
Скалярное поле 
характеризуется градиентом
и производной по направлению 
:
,
где 
– координаты единичного
вектора направления .
3. Вычисление двойного интеграла от функции 
, определенной в области 
, сводится к вычислению двукратного интеграла
вида
, (1)
где область определяется условиями 
, 
или вида
, (2)
если область определяется условиями 
, 
.
Переход от равенства (1) к (2) или обратно называется изменением порядка интегрирования.
4. Векторным полем 
называется векторная функция точки :
.
Векторное поле характеризуется скалярной величиной — дивергенцией:
и векторной величиной — ротором:
.
Векторное поле называется соленоидальным, если в каждой точке этой области
.
Векторное поле 
называется потенциальным в области 
, если в каждой этой области 
.
Для потенциального векторного поля 
справедлива формула для нахождения потенциальной функции
,
где 
– фиксированная точка
области , 
– любая точка области 
– произвольная постоянная.
Потоком 
векторного поля
через двустороннюю поверхность
называется поверхностный интеграл
, (3)
где 
– единичный вектор нормали
вдоль , 
. Если поверхность задается уравнением 
, то
,
причем знак в правой части берется так, чтобы получить нормальный вектор
к выбранной стороне поверхности.
Для вычисления интеграла (3) удобно проектировать поверхность
на одну из координатных плоскостей. Пусть, например, взаимно однозначно проектируется на 
, тогда
.
Если взаимно однозначно
проектируется на 
или 
, то
или 
.
Иногда вычисление потока проводят методом проектирования на все три координатные плоскости :
,
каждое слагаемое вычисляется отдельно посредством проектирования
на соответствующую координатную плоскость.
Формула Остроградского устанавливает связь между потоком векторного поля
через замкнутую поверхность
и дивергенцию поля :
.
5. Циркуляция векторного поля 
по замкнутой кривой 
называется криволинейный интеграл
,
где 
.
6. Формула Стокса устанавливает связь между циркуляцией векторного поля
и его ротором:
,
где – поверхность, ограниченная
замкнутым контуром , – единичный вектор нормали к этой поверхности. Направление
нормали должно быть согласно с направлением обхода контура .
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в треугольнике, ограниченном прямыми 
,
, 
.
Решение. Найдем стационарные точки, лежащие внутри данного треугольника:
Приравнивая частные производные нулю, можно на и 
сократить, так как внутри треугольника 
, тогда
.
Решение этой системы: 
. Стационарная точка 
лежит внутри треугольника, 
. На сторонах треугольника 
и значение функции z равно нулю. Найдем наибольшее и наименьшее
значения на стороне . На ней 
и
.
Стационарные точки находим из уравнения 
.
.
(т.к. х = 0 — граничная точка).
.
На концах интервала 
.
Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции z в данном треугольнике надо искать среди следующих ее значений:
в точке 
на
стороне в точке (4, 2).
Сравнивая полученные значения видно, что наибольшее значение
функция принимает внутри треугольника в точке 
;
наименьшее значение z = - 128 — границе, в точке (4, 2).
