Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда 
.
Решение. Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле:
.
Так как
,
то
.
Степенной ряд сходится абсолютно в интервале 
.
Исследуем поведение ряда на концах интервала.
При 
имеем 
,
данный ряд расходится.
При 
имеем 
,
ряд сходится по признаку Лейбница, причем сходится условно. Следовательно,
область сходимости
ряда является полуинтервал 
.
Пример 3. Вычислить 
с точностью до 
.
Решение. Разложение подынтегральной функции в степенной ряд имеет вид:
.
Интегрируя этот ряд почленно, получим
Полученный числовой ряд есть ряд Лейбница. Погрешность происходящая от отбрасывания всех членов начиная с третьего, будет по абсолютной величине меньше третьего члена:
.
Вычисляя с точностью до 0,0001, найдем
.
Пример 4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на интервале — периоде.
Решение. Функция f(x) удовлетворяет условию Дирихле, поэтому раскладывается в ряд Фурье.
.
Вычисляя коэффициенты Фурье функции f(x):
,
,
так как
,
.
.
