Контрольная работа №1
Аналитическая геометрия. Элементы векторной и линейной алгебры. Комплексные числа.
Основные теоретические сведения
1. Определителем 
-го порядка называется число 
, записываемое в виде квадратичной таблицы
и вычисляемое, согласно указанному ниже правилу, по заданным числам 
,
которые называются элементами определителя. Индекс 
указывает номер строки, а 
– номер столбца квадратной таблицы.
Минором 
элемента
называется определитель 
порядка, получаемый из определителя
-го порядка, вычеркиванием
-й строки и -го
столбца.
Алгебраическое дополнение 
элемента определяется равенством
.
Рекуррентная формула для вычисления определителя -го порядка имеет вид
(разложение определителя по элементам -й строки).
2. Скалярным произведением двух векторов 
и 
называется число, определяемое равенством
,
где 
– угол между векторами
и 
.
3. Векторным произведением векторов и называется вектор 
, обозначаемый 
, который удовлетворяет условиям:
1) 
, 
;
2) 
;
3) 
– правая тройка векторов;
– формула для вычисления
площади треугольника.
4. Смешанное произведение трех векторов , , 
есть число, равное
.
Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах.
5. Выражение вида 
называется комплексным числом (в алгебраической и тригонометрической
форме соответственно). Здесь 
, 
– действительная часть, 
– мнимая часть комплексного числа 
; 
и 
– модуль и аргумент числа :
; 
.
Извлечение корня -ой степени (– натуральное число) из числа 
производится по формуле
,
где 
.
Пример 1. Дана система линейных алгебраических уравнений:
Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы. Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера - Капелли.
Решение. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
данной системы и ранг расширенной матрицы
Для этого умножим первую строку матрицы В на –2 и сложим со второй, затем умножим первую строку на –3 и сложим с третьей, получим
~ 
~ 
.
Следовательно, rang A = rang B = 3 (числу неизвестных), исходная система имеет единственное решение.
а) Находим решение системы по формулам Крамера
где
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Метод Гаусса. Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования. Элементы первой строки умножим на –2 и прибавим к соответствующим элементам 2-ой строки, затем элементы первой строки умножим на –3 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.
~ 
~ 
Последней матрицей соответствует система, эквивалентная исходной:
Из этой системы, двигаясь снизу вверх, последовательно находим:
в) Матричный метод. Так как det A = -16 ¹0, то матрица А невырожденная, существует обратная матрица А-1, определяемая по формуле:
где 
являются алгебраическими дополнениями
соответствующих элементов матрицы А.
Введем в рассмотрение матрицы столбцы для неизвестных и свободных членов:
Тогда данную систему можно записать в матричной форме:
, отсюда находим 
- решение системы в матричной форме.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение системы:
таким образом,
