Для комплекснозначных последовательностей изучаются свойства: сходимость и ограниченность, а также связь между ними.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число 
называется пределом последовательности 
при 
, если выполняется условие
, (*)
т.е. для всякого, в том числе и сколь угодно малого, числа 
можно указать такой номер 
,
что для всех членов последовательности
с номерами, большими , значение
модуля разности чисел 
и 
меньше 
. Коротко записываем 
или 
при .
Поскольку 
– расстояние между точками и , то выполнение условия (*) геометрически означает, что
какого бы радиуса 
ни описать окружность с центром в точке , внутри этой окружности лежат все точки
последовательности , номера которых больше .
Множество 
называется – окрестностью точки 
.
Если последовательность при имеет пределом комплексное число 
, то она называется сходящейся к числу
. В противном случае, т.е.
в случае, когда не выполнено условие (*) для любого числа , последовательность называется расходящейся.
Иногда поведение последовательности комплексных чисел 
можно изучить через поведение последовательностей
и 
.
ТЕОРЕМА. Число является пределом последовательности тогда и только тогда, когда одновременно
при число 
является пределом последовательности ,
число 
является пределом последовательности
.
Доказательство. (
) Предположим, что 
. Покажем, что тогда 
и 
(одновременно).
В самом деле, по определению предела для и выполняется условие (*). Но
,
откуда имеем 
и аналогично 
при любом 
. Поэтому из (*) получаем соотношение 
, определяющее свойство числа :
. Аналогично показывается, что .
(
) Пусть теперь, наоборот,
пределы действительнозначных последовательностей и существуют, т.е. 
и 
. Покажем что существует 
, и его значение равно 
.
В самом деле, по определению предела последовательности имеем 
и
.
Выберем 
. Тогда оба неравенства выполняются одновременно для всех
. Поэтому имеем
,
т.е. согласно (*) число есть предел последовательности при . Теорема доказана.
ПРИМЕР 3. Пусть 
. Здесь имеем 
, 
при . Применяя теорему, можно утверждать, что последовательность
сходится к числу 
, т.е.
.
ПРИМЕР 4. Последовательность 
является расходящейся, так как предел последовательности
действительных чисел 
не имеет
конечного предела (расходится).
ПРИМЕР 5. Последовательность 
также является расходящейся, поскольку 
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность называется ограниченной, если выполняется условие
,
т.е. существует действительное положительное число 
такое, что модули 
не превосходят числа 
для всех номеров 
.
Число 
можно геометрически представить как расстояние от точки
до начала координат 
.
Поэтому для ограниченной последовательности существует окрестность с центром
в начале координат (радиуса 
)
такая, что внутри нее расположены все точки последовательности.
ТЕОРЕМА (о связи понятий "сходимость" и "ограниченность")
Если последовательность сходится, то она ограничена.
Обратное утверждение неверно.
Доказательство. Пусть . Тогда по условию (*) для любого выбранного числа
все точки , для которых , попадут в 
, т.е. 
. Но по свойствам модуля комплексных чисел имеем 
,
откуда получаем
.
Вне могут находиться лишь
точки 
при 
.
Если обозначить через наибольшее
из чисел 
, то и при любом имеем 
, т.е. последовательность ограничена.
