Четвертое задание предлагает изобразить тело, ограниченное заданными поверхностями второго порядка и плоскостями.
Решим конкретную задачу.
Задача 4. Нарисовать тело, ограниченное указанными поверхностями. Указать тип поверхностей, ограничивающих данное тело:
.
Решение. В плоскости 
уравнение 
задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат.
В пространстве этому уравнению соответствует цилиндрическая поверхность, образующие
которой параллельны 
, а направляющей служит вышеупомянутая окружность. Неравенство
указывает, что берется часть
этой поверхности, ограниченная плоскостями 
и 
.
Рассмотрим уравнение 
. Возведя в квадрат левую и правую части, получим 
.
Это сфера радиуса 
с центром в начале координат. Значит,
уравнение задает левую половину сферы.
Наконец, уравнение 
преобразуем так:
.
Будет 
- это конус
вершиной в точке
,
вытянутый вдоль оси . Уравнение
задает 
левую его часть.
Рис.3
А теперь только остается нарисовать тело, ограниченное рассмотренными поверхностями (рис.3).
V. В пятом задании требуется решить линейную неоднородную систему.
Дифференцирование функциональных рядов
Теорема:
Пусть 
fn(x) → 
f(x), x
O(a),
fn’(x) C(O(a)),
Тогда f(x)D(O(a)) и f¢’(x)=g(x), xO(a)
Доказательство (на основании теоремы об интегрировании функционального ряда):
fn’(t)=g(t), t[a,x] — непрерывная функция, так как ряд 
fn’(t) равномерно сходится на O(a).
На основании теоремы об интегрировании функционального ряда этот ряд можно проинтегрировать
почленно.
Теорема доказана.
