Задача . Решить систему:
Решение.Обозначим через
и 
основную и расширенную матрицы системы соответственно.
,
.
Сначала надо определить, имеет ли эта система
решения и сколько. Для этого возьмем расширенную матрицу и элементарными преобразованиями строк (только!)
приведем ее к трапециевидной форме:
.
При этом матрица перейдет в 
.
Отсюда 
.Обозначим 
через 
.Так как ранги и совпадают, то система имеет бесконечное множество решений.
Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма
общего решения соответствующей однородной и какого-либо решения неоднородной.
Общее решение однородной системы представляет из себя линейную комбинацию фундаментальной
системы решений, которая состоит из 
векторов, что в нашем примере равно
двум.
Чтобы найти решения однородной системы, запишем сначала эквивалентную
ей систему с матрицей :
За базисный минор возьмем минор, стоящий в левом верхнем углу матрицы , то есть минор, составленный из коэффициентов при неизвестных
.Тогда, придавая оставшимся переменным
любые значения, неизвестные можно получить единственным образом. Чтобы
найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных переменных,
такие, что в каждом наборе одна переменная равна 1, а остальные 0.
Взяв
из системы
получим
и вектор решений 
. Затем, аналогично, взяв 
, получим 
.
Общее решение однородной системы имеет вид 
, где 
и 
- произвольные числа.
Теперь найдем какое-либо
решение неоднородной системы. Система, соответствующая матрице 
, имеет вид
и
эквивалентна данной. Из соображений, указанных выше, положим 
.
Тогда 
,и вектор решений
.
Таким образом, общее решение системы будет иметь вид 
или
.
Пример 3:
Найдем закон Т(t) остывания кипящей воды до комнатной температуры (tкомн=200) и время достижения 400, если до 600 вода остывает за 20 мин. Известно, что мгновенная скорость остывания линейно зависит от разницы Т и tкомн.
Составим
дифференциальное уравнение: 
