Рассмотрим теперь задачи шестого типа, где предлагается привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью теории квадратичных форм.
Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка
,
которое только при специально выбранной системе координат будет являться каноническим (простейшим) уравнением поверхности рассмотренного выше вида.
Выпишем отдельно слагаемые второго
порядка относительно координат 
.
Они образуют так называемую квадратичную форму Ф
, которую можно записать так:
Ф
.
(здесь 
).
Матрица этой квадратичной формы
;
нетрудно заметить, что она симметричная, то есть является матрицей самосопряженного оператора А. Если ввести в рассмотрение матрицу-столбец
,
то квадратичную форму Ф в матричном виде можно записать так:
Ф
.
С помощью ортогонального преобразования 
, которому с геометрической точки зрения в общем случае
соответствует поворот координатных осей и, может быть, изменение их направления,
приведем квадратичную форму к простейшему (каноническому) виду
Ф
.
Матрица 
имеет диагональный вид, по главной диагонали ее стоят
собственные числа матрицы 
. В координатной форме канонический вид квадратичной формы
записывается так:
Ф/
.
Столбцы ортогональной матрицы преобразования
формируются из координат единичных собственных векторов матрицы 
.
Таким образом, задача свелась
к нахождению собственных чисел 
и соответствующих им единичных собственных векторов
матрицы 
. Для нахождения собственного вектора
имеем уравнение 
или 
. Обозначим 
.
В координатной форме оно имеет вид
(2)
Решив характеристическое уравнение
,
найдя его корни и подставляя по очереди 
в систему (2), найдем три ненулевых решения
этой системы, то есть три собственных вектора.
.
Пронормировав, то есть разделив координаты каждого вектора на его длину 
, найдем три единичных собственных вектора
.
Записав координаты этих векторов в качестве столбцов, построим матрицу преобразования
. Заметим, что преобразованию
с матрицей будет соответствовать правая система координат, если
, чего нетрудно добиться, переставляя
векторы 
.
В координатной форме преобразование запишется так:
В результате уравнение поверхности второго порядка приняло вид
.
Осуществив преобразование параллельного переноса, как это делалось и для кривых второго порядка, по формулам
приведем уравнение поверхности к каноническому виду. По каноническому виду нетрудно определить тип поверхности и сделать его схематический рисунок.
