Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Математика задачи операционное исчисление

Рассмотрим теперь задачи шестого типа, где предлагается привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка с помощью теории квадратичных форм.

Рассмотрим общее уравнение поверхности второго порядка

,

которое только при специально выбранной системе координат будет являться каноническим (простейшим) уравнением поверхности рассмотренного выше вида.

Выпишем отдельно слагаемые второго порядка относительно координат . Они образуют так называемую квадратичную форму Ф, которую можно записать так:

Ф

.

(здесь ).

Матрица этой квадратичной формы

;

нетрудно заметить, что она симметричная, то есть является матрицей самосопря­женного оператора А. Если ввести в рассмотрение матрицу-столбец

,

то квадратичную форму Ф в матричном виде можно записать так:

Ф. С помощью ортогонального преобразования , которому с геометрической точки зрения в общем случае соответствует поворот координатных осей и, может быть, изменение их направления, приведем квадратичную форму к простейшему (каноническому) виду

Ф.

Матрица имеет диагональный вид, по главной диагонали ее стоят собственные числа матрицы . В координатной форме канонический вид квадратичной формы записывается так:

Ф/.

Столбцы ортогональной матрицы преобразования формируются из коорди­нат единичных собственных векторов матрицы .

Таким образом, задача свелась к нахождению собственных чисел и соответствующих им единичных собственных векторов

матрицы . Для нахождения собственного вектора

имеем уравнение или . Обозначим .

В координат­ной форме оно имеет вид

(2)

Решив характеристическое уравнение

,

найдя его корни и подставляя по очереди в систему (2), найдем три ненулевых решения этой системы, то есть три собственных вектора.

.

Пронормировав, то есть разделив координаты каждого вектора на его длину , найдем три единичных собственных вектора

. Записав координаты этих векторов в качестве столбцов, построим матрицу преобразования . Заметим, что преобразованию с матрицей будет соот­ветствовать правая система координат, если , чего нетрудно до­биться, переставляя векторы .

В координатной форме преобразование запишется так:

В результате уравнение поверхности второго порядка приняло вид

.

Осуществив преобразование параллельного переноса, как это делалось и для кривых второго порядка, по формулам

приведем уравнение поверхности к каноническому виду. По каноническому виду нетрудно определить тип поверхности и сделать его схематический рисунок.