Задача . Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
с помощью теории квадратичных форм. Сделать рисунок.
Решение. Напишем уравнение этой поверхности в общем виде, выписывая и коэффициенты, равные нулю:
.
Теперь нетрудно записать и матрицу этой квадратичной формы:
Характеристическое уравнение имеет вид
.
или 
.
Его корни, очевидно, 
.
Найдем соответствующие им единичные
собственные векторы 
. Решим систему
=0.
Подставляем по очереди 
.
При 
имеем
.
Элементарными преобразованиями приводим матрицу системы к виду:
;
,
следовательно система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от параметра.
Возьмем 
за параметр, тогда 
.
Полагаем 
, тогда
.
При 
имеем 
.
Матрицу 
приводим к виду
;
-параметр.
Полагаем
, следовательно
.
При 
имеем
=0,
;
-параметр.
Полагая
, получаем
.
Нормируем собственные векторы.
, откуда
.
и значит,
.
,
и
.
Формируем матрицу преобразования
, беря в качестве ее столбцов собственные
векторы .
Получаем
.
Очевидно, 
, то есть система 
будет правой системой координат . Итак, имеем преобразование
. В координатной форме:
|
|
|
|
|
|
(*)
=
Если принять во внимание формулы преобразования при повороте координатных осей
то нетрудно видеть, что преобразованию
(*) соответствует поворот координатных осей 
, 
вокруг оси 
на угол 
.
Заметим, что 
при этом преобразовании не меняется. Очевидно, что 
,
то есть . Относительно новых осей квадратичная
форма 
. Нетрудно найти матрицу
квадратичной формы в новом базисе:
. Имеем
.
Уравнение поверхности относительно нового базиса:
.
Оси 
,
лежат в плоскости
Ясно, что это конус,
вытянутый вдоль оси 
, с вершиной в начале координат.
Так
как уравнение не содержит линейных относительно 
и 
слагаемых, то параллельного переноса не требуется (рис.4).
