Числовые ряды с неотрицательными членами.
Достаточные признаки сходимости
Одним
из признаков существования предела является следующее утверждение: если последовательность
монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Лемма. Если члены ряда неотрицательны,
то он сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм
ограничена сверху.
Доказательство: рассмотрим ряд с неотрицательными членами
.Тогда для последовательности частичных
сумм справедливо неравенство 
. Поэтому последовательность 
монотонно возрастает и по признаку существования
предела 
, то есть последовательность
частичных сумм ограничена сверху.
Рассмотрим два ряда с неотрицательными
членами:
(3)
(4)
Признак сравнения. Пусть даны два ряда с неотрицательными
членами (3) и (4) и для всех n выполняется неравенство 
Тогда из сходимости ряда 
следует сходимость ряда 
, а из расходимости ряда следует расходимость ряда . Другими словами, из сходимости ряда с большими членами
следует сходимость ряда с меньшими членами, а из расходимости ряда с меньшими
членами - расходимость ряда с большими
членами.
Доказательство: 1. Пусть ряд сходится. Тогда существует предел 
, где 
- n-ая частичная сумма этого ряда.
Пусть 
,
так как 
для 
, то 
. Так как - ряд с неотрицательными членами, то -монотонно возрастающая последовательность и
ограничена сверху, следовательно, согласно лемме существует предел 
,
что и означает сходимость ряда .
2. Если ряд расходится, то расходится
и ряд , так как если бы он сходился,
то в силу доказанного сходился бы и ряд .
Предельный признак сравнения. Пусть
даны два ряда и с положительными членами и существует конечный предел
. Тогда оба ряда сходятся или
расходятся одновременно.
Доказательство: Пусть существует 
то по определению имеем, что
Перепишем последнее неравенство в виде 
или 
так как 
, получаем
1. Если ряд
сходится, то согласно алгебраическим свойствам сходится и ряд 
, тогда ряд сходится по признаку сравнения как ряд с меньшими членами.
2. Если ряд расходится, то согласно
алгебраическим свойствам расходится и ряд 
, тогда ряд расходится по признаку сравнения как ряд с большими членами.
Упр. Случаи, когда ряд сходится
(расходится) рассмотреть самостоятельно.
Замечание. Ряд 
называется обобщенным гармоническим рядом или рядом Дирихле. Он сходится при 
и расходится при 
.
При работе с предельным признаком сравнения в качестве ряда (4) чаще всего берут ряд Дирихле.
Признак Даламбера. Пусть
дан ряд с положительными числами и существует предел 
. Тогда при l <1 ряд сходится, при
l >1 ряд расходится, при l =1 признак ответ на вопрос о сходимости ряда не
дает.
Признак Коши. Пусть дан ряд с положительными числами и существует предел 
. Тогда при l <1 ряд сходится, при
l >1 ряд расходится, при l =1 признак ответ на вопрос о сходимости ряда не
дает.
Интегральный признак. Пусть дан ряд с положительными членами , 
Если
существует невозрастающая непрерывная функция 
, заданная при 
, такая что 
тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно сходимости
несобственного интеграла 
