Функциональные ряды
Рассмотрим ряд вида:
(8)
где 
- некоторые функции аргумента х, заданные на
множестве Х. В этом случае говорят, что на множестве Х задан функциональный ряд.
Если
фиксировать какое-нибудь
, то ряд 
(9)
является числовым рядом. Если числовой ряд
(9) сходится, то говорят, что функциональный ряд (8) сходится в точке 
. Множество всех точек сходимости функционального ряда
называется его областью сходимости. Область сходимости может совпадать с множеством
Х, но может быть и пустым множеством.
Пусть 
- область сходимости ряда (8). Тогда для каждого
фиксированного 
соответствующий
числовой ряд сходится и имеет
сумму. Если каждому поставить
в соответствие число, равное этой сумме, то на множестве определена некоторая функция 
, называемая суммой функционального
ряда (8). Тогда записывают:
Точно так же, как и для числовых рядов, частичная сумма ряда (8) 
Тогда сходимость функционального
ряда определяется как сходимость последовательности частичных сумм 
для каждого : 
Это означает, что для 
выполнено неравенство 
В общем случае 
зависит как от 
так и от 
Только для сходящегося функционального ряда верно равенство
где 
Пример. Исследовать сходимость
ряда 
Зафиксируем 
В этом случае имеем бесконечно убывающую геометрическую прогресию со знаменателем
и суммой 
Если 
, то 
Значит ряд сходится для 
Получили, что, несмотря на то, что все члены ряда непрерывные
функции и ряд сходится для 
, его сумма является разрывной функцией.
Признак
Вейерштрасса. Если члены функционального ряда 
удовлетворяют неравенству 
,
и числовой ряд 
сходится,
то ряд (8) равномерно
сходится в области 
.
Пример:
Решим дифференциальное уравнение, описывающее прохождение по цепи переменного тока, чтобы найти зависимость мгновенной силы тока от времени i(t).
L — индуктивность, R — сопротивление
Сделаем замену переменных:
и подставим
Где: α=
Всегда можно ввести ω0
(собственная частота): 
При больших t стремится к нулю 
Уравнение Клеро:
. Вводя параметр 
, получаем 
. 
или 
. Тогда, если 
, то 
и 
– это общее решение уравнения Клеро (прямые линии). Если
же 
, то 
. Тогда 
– особое решение (проверяется подстановкой
в исходное уравнение) .
