Степенные ряды
Функциональный ряд вида
,
(10)
где 
называется степенным
рядом. Числа 
называются коэффициентами
степенного ряда (10).
Если
,
то ряд имеет вид 
(11)
Степенной ряд (11) всегда сходится
в точке 
. Если
, то ряд (11) может сходится, а может расходится.
Теорема
(Абеля). Если степенной ряд (11) сходится в точке
, то он сходится абсолютно во всякой
точке 
. Если в точке 
степенной
ряд (11) расходится, то он расходится во всех точках 
таких, что 
.
Доказательство. По условию теоремы числовой ряд
сходится. Согласно необходимому условию
. Следовательно, последовательность
является сходящейся. Значит она ограничена, т. е. 
такое, что 
. Так как , рассмотрим ряд 
Запишем соответствующий ряд из модулей
В силу неравенства ограниченности
получим мажорирующий ряд 
,
который является геометрической прогрессией
со знаменателем 
, так как 
. Значит ряд 
сходится. Тогда по признаку сравнения сходится и ряд из
модулей
. Значит исходный ряд тоже
сходится.
Если в точке степенной
ряд (11) расходится, то он расходится во всех точках таких, что . Действительно, если бы ряд (11) сходился в точке 
, то по теореме Абеля он сходился бы
в точке 
, что противоречит условию.
Теорема доказана.
Радиусом сходимости степенного ряда (11) называется неотрицательное
число R такое, что при всех 
ряд
сходится, а при всех 
ряд расходится.
Если
ряд (11) сходится только в точке , то 
; если ряд сходится для всех
, то 
.
Теорема. Если существует предел 
, то радиус сходимости 
ряда (11) равен 
. Доказательство. Рассмотрим ряд. Применим к нему признак Даламбера.
Имеем:
.
Отсюда
следует, что если 
, то ряд сходится, и ряд (11) сходится абсолютно.
Если
, то ряд (11) расходится, так
как 
и, следовательно, общий член ряда 
не стремится к нулю при 
.
Теорема. Если существует предел 
, то радиус сходимости ряда (11) 
Упражнение. Доказать теорему самостоятельно.
Заметим, что если 
, то , если же 
, то 
Интервалом сходимости ряда (11) называется интервал
вида 
, а
интервалом сходимости ряда
(10) называется интервал вида 
.
Свойства степенных рядов
Рассмотрим степенной ряд (11), интервал сходимости которого равен 
На этом интервале ряд имеет сумму, обозначим её через 
, т. е.
.
(12)
Сумма 
степенного ряда
является функцией непрерывной на интервале сходимости 
.
Сумма степенного
ряда является функцией дифференцируемой на , причём, производную можно найти по формуле:
(13)
В этом случае говорят, что степенной ряд можно почленно дифференцировать на интервале сходимости.
Заметим также,
что это утверждение можно применять снова уже к степенному ряду (13). Это означает,
что сумма степенного ряда является функцией бесконечно дифференцируемой на .
Для любого отрезка 
справедлива формула
, 
, (14)
т.е. интеграл от суммы степенного ряда
по любому отрезку может быть вычислен почленным интегрированием
ряда (12).
4. Степенные ряды 
и 
,
имеющие радиусы сходимости соответственно R1 и R2 , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R2.
Все вышесказанное
справедливо для рядов вида (10) на интервале 
,
где - R радиус сходимости ряда (10).
