Разложение функций в степенные ряды.
Если функция 
является суммой ряда
(10),
то есть 
, (15)
где
, то говорят, что функция 
разлагается в степенной ряд по степеням
. Разложение функции в степенные ряды
является одной из важнейших задач, так как тогда функцию можно приближенно заменить
суммой нескольких первых членов ряда, то есть многочленом.
Теорема. Если функция
f(x) разлагается на интервале сходимости в сходящийся степенной ряд, то это разложение
единственно.
Доказательство. Пусть функция f(x) разлагается в степенной ряд
Тогда
этот ряд можно почленно дифференцировать сколь угодно раз на интервале сходимости:
……………………………………………………………………
.
Полагая 
,
находим, что 
, 
Тогда 
(16)
Подставляем (16) в ряд (15), получим формулу
(17)
. (17)
Из приведённых
выше рассуждений следует, что разложение в ряд (17) единственно. То есть если
имеются два разложения по степеням одной и той же функции , то эти разложения имеют равные коэффициенты
при одинаковых степенях .
Ряд (17) называется рядом Тейлора функции в окрестности точки.
Если 
=
0 , то ряд (17) называется рядом Маклорена и имеет вид 
. (18)
Однако если просто предположить,
что функция имеет в окрестности точки 
производные любого порядка, т.е. бесконечно
дифференцируема в окрестности точки, и формально составить для нее ряд Тейлора, то неоткуда
не следует, что этот ряд сходится при 
. Если же полученный ряд сходится, то необязательно к
функции f(x).
Частичная сумма ряда (17) называется многочленом Тейлора 
. Остаточным членом формулы Тейлора называется
разность
Рассмотрим остаточный
член в форме Лагранжа
(19)
Теорема (критерий сходимости ряда Тейлора). Для того чтобы ряд Тейлора, составленный
для бесконечно дифференцируемой функции f(x) сходился на интервале сходимости
и имел своей суммой f(x) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы
Тейлора стремился к нулю на указанном интервале.
На практике пользуются следующим
утверждением.
Теорема (достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции
f(x)).
Если функция является бесконечно дифференцируемой на интервале и все её производные ограниченны
одной и той же постоянной М на, то ряд Тейлора (17) сходится к функции на этом интервале.
Доказательство.
По условию теоремы 
Рассмотрим остаточный член в форме Лагранжа (19). Тогда
Это согласно критерию сходимости
и означает сходимость ряда Тейлора к функции f(x).
Разложение некоторых функций в ряд Маклорена.
1. 
Тогда 
Подставляя все в формулу
(18), получим разложение 
(19)
Докажем, что полученный ряд сходится и имеет
своей суммой функцию 
Сначала найдем область сходимости.
Так как 
то ряд сходится на всей
числовой прямой. Полученный ряд сходится к функции 
так как на любом отрезке 
функция 
и все ее производные ограничены одним и тем
же числом, например 
2.
Найдем n-производную этой функции.
Вычислив, что 
… получим 
После подстановки в (18) получим ряд
(20)
Так как 
то по достаточному
условию сходимости получим, что ряд сходится к функции 
Упр. Получить самостоятельно,
что
(21)
