Задача. Исследовать на сходимость ряд.
Рассмотрим
ряд из модулей 
При любых значениях n выполняется неравенство
.
Рассмотрим ряд 
Интегральный признак Коши
Ряд
сходится, значит наш знакопеременный
ряд обладает абсолютной сходимостью.
Задача 8. Вычислить сумму ряда с точностью
.
Сумма
ряда: 
, где 
остаток ряда. По условию задачи 
Для знакопеременных рядов остаток ряда по модулю
меньше первого отброшенного члена.
Последнее неравенство выполняется при n=5, значит достаточно оставить первые пять членов ряда
Задача 9. Найти область сходимости ряда.
Ряд
будет сходится при 
Причем при 
- условно имеем 
.
Следовательно 
сходится условно.
Область сходимости 
.
Пример:
1-α>1 ~ α<0, A — сходится.
1-α<1 ~ α>0, A — расходится.
При α = 0 ряд состоит только из нулевых слагаемых, а следовательно сходится.
Интегральный признак. (Коши-Маклорена)
Пусть 
- непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая
функция, определенная при 
(начиная с некоторого x).
Тогда ряд 
~
Доказательство:
Лемма. Пусть An=a1+…+an — частичная сумма.Тогда ряд сходится тогда, когда An<c c=const. Эта лемма верна, так как в этом случае получается монотонно убывающая и ограниченная последовательность.
Тогда 
, или 
. Поэтому если 
сходится, то
. Тогда 
и 
, 
ряд сходится.
Пусть теперь
наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда 
. Взяв произвольное 
, выберем 
так, чтобы
. Тогда
. Значит,
сходится.
