Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
=
=
=
0
, где n=1,2, . . .
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:
Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
, где n=1,2, . . .
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:
Если
функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке
то 
, где 
,
,
,
Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.
Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо : доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.
Ряды. Дифференциальные уравнения.
А=а1+а2+а3+…=
Определение: Числовой ряд — бесконечная упорядоченная сумма чисел.
Примеры рядов:
Гармонический ряд.
Дзета функция Риммана.
1-1+1-1+1-1+1-1+…
Аn=а1+а2+а3+…+аn – частичная сумма ряда.
{An}–последовательность частичных сумм.
Определение: Числовой ряд А сходится,
если 
– сумма сходящегося числового рядя.
Если
, то ряд А расходится.
1+2+3+4+5+… (расходится к бесконечности)
В целом по рядам существует несколко типов задач:
1) Исследование сходимости ряда.
2) Нахождение суммы.
Критерий Коши сходимости ряда.
" e>0 $ n0 , такое, что "n>m³n0: |An-Am|<e.
Тогда говорят, что последовательность An — фундаментальна.
An=a1+a2+…+an
Am=a1+a2+…+am, следовательно, An-Am=am+1+…+an
" e>0 $ n0, такое что "n>m³n0 => | am+1+…+an |<e.
