Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций
Последовательность функций
непрерывных на отрезке [a,b], называется ортогональной
системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно
ортогональны на этом отрезке, т. е. если
Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],
если выполняется условие
Пусть теперь f(x) - любая функция непрерывная на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке [a,b] по ортогональной системе называется ряд:
коэффициенты которого определяются равенством:
n=1,2,…
Если ортогональная система функций на отрезке [a,b] ортонормированная, то в этом случаи
где
n=1,2,…
Пусть теперь f(x) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на томже отрезке
по ортогональной системе называется ряд:
,
Если ряд Фурье функции f(x) по системе (1) сходится к функции f(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a,b]. В этом случае говорят что f(x) на отрезке [a,b] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).
Комплексная форма ряда Фурье
Выражение 
называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x),
если 
определяется равенством
, где 
Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:
(n=1,2, . . .)
Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
Теорема:
Пусть
Доказательство:
Докажем, что 
Доказано.
Теорема об интегрировании функционального ряда.
Теорема:
Доказательство:
Теорема доказана.
