Теорема достаточный признак сходимости ряда
Если сходится ряд, составленный
из модулей слагаемых ряда 
,
,
то сходится и сам ряд.
Доказательство. Поскольку 
, где 
и 
, то 
, 
, 
. Применяя признак сравнения для знакоположительного ряда,
получаем сходимость ряда 
. Аналогично
получаем сходимость ряда 
. Но тогда, согласно теореме о необходимом и достаточном
условии сходимости, сходится ряд .
Понятия абсолютной и условной сходимости для комплекснозначных рядов вводятся аналогично уже рассмотренным.
Учитывая соотношение
,
можно
утверждать, что если ряды и абсолютно сходятся (одновременно), то ряд 
абсолютно сходится.
Поскольку
или 
, то можно утверждать, что если хотя бы один из рядов
и условно сходится (или расходится),
то сам ряд условно сходится (или расходится).
ПРИМЕР 7. Исследовать поведение ряда
.
Общий
член этого ряда 
довольно трудно представить в виде суммы 
, поэтому использование теоремы о необходимом
и достаточном условии сходимости затруднено.
Найдем 
. Ряд, составленный из модулей слагаемых исходного ряда
, сходится (можно доказать с помощью
интегрального признака). Поэтому сходится абсолютно исходный комплекснозначный
ряд.
ПРИМЕР 8. Ряд 
сходится, так как ряды 
и 
сходятся. Но ряд, составленный из модулей слагаемых исходного
ряда 
, расходится (достаточно сравнить его с рядом 
).
Поэтому ряд условно сходится. Можно сделать этот вывод из условной сходимости
ряда 
.
Тригонометрические ряды Фурье
, далее функция периодическая с периодом 2π.
Ряд
Дирихле 
сходится при всех x.
нечетная функция, an=0
(signx)
