Задача о колебании струны
Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.
При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u(x,t) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению
(1) , где а - положительное число. Курс лекций по математике
Наша з а д а ч а - найти функцию u(x,t) , график которой дает форму струны в любой момент времени t, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:
(2)
и начальных условиях:
(3)
Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным
условиям(2). Нетрудно увидеть, что u(x,t)
0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным
условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде
произведения u(x,t)=X(x)T(t), (4) , где 
, 
.
Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:
Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:
Используя
это условие X(0)=0, X(l)=0, докажем, что 
отрицательное число, разобрав все
случаи.
a) Пусть 
Тогда X”=0 и его общее решение запишется так:
откуда
и 
,что
невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в
нуль.
б) Пусть 
. Тогда
решив уравнение
получим
, и, подчинив, найдем, что 
в)
Если 
то
Уравнения имеют корни :
получим:
где
-произвольные постоянные. Из
начального условия найдем:
откуда
, т. е.
(n=1,2,…)
(n=1,2,…).
Учитывая это, можно записать:
(n=1,2,…).
и, следовательно
,
(n=1,2,…),
но так как A и B разные для различных значений n то имеем
,
(n=1,2,…),
где 
и 
произвольные постоянные, которые попытаемся
определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям
(2) и начальным условиям (3).
Итак, подчиним функцию u(x,t) начальным условиям,
т. е. подберем 
и 
так , чтобы выполнялись условия
Эти
равенства являются соответственно разложениями функций 
и 
на отрезки [0, l] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит
что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение
о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой
где
(n=1,2,…)
