Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье
Исходные данные :
(Рис. 1)
Функция периодическая с периодом 
.( f(x+T)=f(x) ) Функция имеет на промежутке
конечное число точек разрыва
первого рода.
Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции,
а в точках разрыва к величине 
, где 
-точки разрыва.
Рис. 1
Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.
1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале 
.
2) F(x) - кусочно-монотонна.
Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия - то рассматриваемая функция произвольна.
Представление функции рядом Фурье.
Из разложения видим, что при n нечетном 
принимает значения равные 0 , и дополнительно
надо рассмотреть случай когда n=1.
Поэтому
формулу для можно записать в виде:
(
так как 
).
Отдельно рассмотрим случай когда n=1:
.
Подставим найденные коэффициенты в получим:
и вообще
.
Признак Абеля — Дирихле.
Пусть дан функциональный ряд 
, xÎEÌ D.
| Признак Абеля Если:
bn(x) — монотонная по n последовательность при фиксированном x. |
Признак Дирихле Если:
по n монотонно, по равномерно |
То ряд сходится равномерно на E. (без доказательства)
Примеры:
= f(x) = 
, xÎ(0; 2p) (без доказательства).
