Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье
Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:
1-ая гармоника 
,
2-ая
гармоника 
,
3-ая
гармоника 
,
4-ая
гармоника 
,
5-ая
гармоника 
,
и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.
Запишем комплексную форму полученного ряда
Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию)
,
но
при 
не существует, поэтому рассмотрим
случай когда n=+1 :
(т.к.
см. разложение выше)
и случай когда n=-1:
(т.к. 
)
И вообще комплексная форма:
или
или
Признак Куммера.
Пусть 
, an>0 (" n³n0), и {bn}
последов-ть чисел, bп>0 и
, и $
, тогда, если δ>0, то ряд сходится, если δ<0,
то ряд расходится, если δ=0, то вопрос о сходимости ряда остаётся открытым.
Доказательство:
1)δ>0, выберем e=δ/2 тогда, по определению предела,
bn*an/an+1-bn+1>δ-e=δ/2 "n³n0
обозначим cn=anbn-an+1bn+1>δ*an+1/2
и докажем сходимость
ряда 
, так как cn=anbn-an+1bn+1= δ*an+1/2>0,
то
anbn>an+1bn+1
, значит, {anbn} монотонно убывающая, ограниченная нулём
последовательность.
Sn = c1+…cn = (a1b1-a2b2)+(a2b2-a3b3)+…+(anbn-an+1bn+1) =
= a1b1-an+1bn+1
значит, ряд 
сходится, 
тоже сходится (по признаку сравнения
1), т.к. δ/2=const, то и исходный ряд сходится => A
сходится.
2) δ<0 тогда,
bn*an/an+1-bn+1<0
=> 
, 
"n³n0, значит
по условию ряд 1/bn — расходится, а значит по признаку сравнения 3 расходится и исследуемый ряд A.
