Комплексная форма ряда по косинусам
Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. гл.1)
,
но
при 
не существует, поэтому рассмотрим
случай когда n=+2 :
(т.к.
см. разложение выше)
и случай когда n=-2:
( т.к. 
)
И вообще комплексная форма:
или
или
Разложение нечетной функции в ряд
Аналогичным образом поступаем с данной функцией F(x), продлевая
ее как нечетную, и рассматриваем на промежутке от 0 до 
смотри рис.3
Рис.3
поэтому разложение по синусам имеет вид:
Из данного разложения видно, что при n=2 произведение неопределенно (можно не учесть часть суммы), поэтому рассмотрим два отдельных случая.
При n=1:
,
и при n=2:
Учитывая данные коэффициенты имеем разложения в виде
и вообще
Найдем первые пять гармоник для данного разложения:
1-ая гармоника 
2-ая
гармоника 
3-ая
гармоника 
4-ая
гармоника 
5-ая
гармоника 
И просуммировав выше перечисленные гармоники получим график функции F(x)
Вывод:
На основании главы 2, разложение функции в тригонометрический ряд(рис.1), разложение в ряд по косинусам(рис.2), разложение по синусам(рис.3), можно заключить, что данная функция разложима в тригонометрический ряд и это разложение единственное. И проанализировав суммы первых пяти гармоник по каждому разложению можно сказать, что наиболее быстрее к заданному графику достигается при разложении по синусам.
Комплексная форма ряда по синусам
Основываясь на теорию (см. гл.1) для ряда получаем:
, 
(т.к. 
)
тогда комплексный ряд имеет вид:
Пример 7:
Рассмотрим
подробнее уравнение 
:
Так как производная функции f(y) неопределена при у = 0 (разрыв вдоль оси Ох), то при у = 0 есть еще одно решение (особое).
Основные тины дифференциальных уравнений
1) Уравнения с разделяющимися переменными.
Уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения вида 
, где 
- непрерывна на некотором 
, а 
непрерывна на 
, причем 
на . 
(метод разделения переменных). Интегрируя обе части,
получаем 
. Обозначая 
любую первообразную для 
, а 
- любую первообразную для , перепишем это уравнение в виде неявно
выраженной функции 
. Это — общее решение.
Рассмотрим пример такого уравнения
интегрируя, получим 
.
