Представление функции интегралом Фурье
Проверка условий представимости
Данную
ранее функцию (см. гл. 2) доопределим на всей прямой от 
до 
как равную нулю(рис.4).
Рис.4
а) f(x)-определенна на R;
б) f(x) возрастает на 
, f(x) убывает на 
- кусочнo-монотонна.
f(x) = const на 
и 
.
< 
.
Интеграл Фурье
В соответствии с теорией (см. гл. 1) найдем a(u) и b(u):
;
.
И в конечном варианте интеграл Фурье будет выглядеть так:
Интеграл Фурье в комплексной форме
Теперь представим интеграл Фурье в комплексной форме. На основе выше полученных разложений имеем:
,
,
а теперь получим интеграл в комплексной форме:
.
Следствие 3.
=> A — расходится.
Применим к исследуемому ряду признак Куммера (bn=n*ln(n) (доказательство расходимости данного ряда см. ниже)). Тогда
bnan/an+1–bn+1=n*ln(n)*(1+1/n+en)–(n+1)ln(n+1)=
(n+1)(ln(n)–ln(n+1))+n*ln(n)*en= -n*ln(1+1/n)–ln(1+1/n)+n*ln(n)*en
-1, т.к. первое из слагаемых стремится (при
n стремящемся к бесконечности) к -1, второе к 0, и 3 к нулю (т.к.ln(n)/n->
к 0).
Из доказанных выше признаков Даламбера, Раабе и следствия 3 получаем:
Признак Гауса. (без доказательства)
Пусть
Тогда,
β<1 A — расходится.
β>1 A — сходится.
β=1 α≤1 A — расходится.
α>1 A — сходится. Доказательство следует из следствий 1- 3.
