Представление функции полиномом Лежандра
Основные сведения
Функцию можно разложить в ортонормированной системе пространства X=[-1,1] , причем полиномы получим, если проинтегрируем выражение:
Соответственно получим для n=0,1,2,3,4,5, … :
. . . . . . . . . .
Для представления функции полиномом Лежандра необходимо разложить ее в ряд:
,
где 
и разлагаемая функция должна
быть представлена на отрезке от -1 до 1.
Преобразование функции
Наша первоначальная функция имеет вид (см. рис. 1):
т.
к. она расположена на промежутке от 0 до 
необходимо произвести замену, которая поместит
функцию на промежуток от -1 до 1.
Замена:
и тогда F(t) примет вид
или
Вычисление коэффициентов ряда
Исходя из выше изложенной формулы для коэффициентов находим:
Далее вычисление коэффициентов осложнено, поэтому произведем вычисление на компьютере в системе MathCad и за одно проверим уже найденные:
Рассмотрим процесс стремления суммы полинома прибавляя поочередно 
-
слагаемое:
А теперь рассмотрим график суммы пяти полиномов F(t) на промежутки от -1 до 0 (рис.5):
Рис. 5
т.к. очевидно, что на промежутке от 0 до 1 будет нуль.
Вывод:
На основе расчетов гл.2 и гл.4 можно заключить, что наиболее быстрое стремление из данных разложений к заданной функции достигается при разложении функции в ряд.
Однородные
уравнения. Под однородными уравнениями понимаются уравнения вида 
. Для их решения требуется сделать замену 
, после чего получится уравнение с
разделяющимися переменными: 
.
Пример 1: Рассмотрим параболическое зеркало. Расположим начало координат в фокусе параболы (рис.8). Такое зеркало имеет интересное свойство: при помещении источника света в фокус зеркала лучи, радиально расходящиеся в разные стороны , после отражения становятся параллельными (так получают плоские световые волны), причем по закону отражения угол падения равен углу отражения.
рис.8
=> 
Введем
замену: y = zx 
и рассмотрим один случай, когда
Сокращая
на z, получаем 
интегрируем равенство:
Возводим в квадрат z2
– 1 = C2x2 — 2Cxz + z2 
Таким образом, получено уравнение параболы.
