Дискретное преобразование Фурье
Прямое преобразование
Для того, чтобы произвести
прямое преобразование, необходимо задать данную функцию (гл. 1, рис. 1) таблично.
Поэтому разбиваем отрезок от 0 до 
на N=8 частей, так чтобы приращение:
В
нашем случае 
, и значения функции в k-ых точках будет:
для
нашего случая 
(т.к. a=0).
Составим табличную функцию:
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|
| 0 | 0.785 | 1.571 | 2.356 | 3.142 | 3.927 | 4.712 | 5.498 |
|
| 0 | 0.707 | 1 | 0.707 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Табл. 1
Прямым дискретным преобразованием Фурье вектора 
называется 
. Поэтому найдем :
,
n=0,1,…,N-1
Сумму находим только до 3 слагаемого, т.к. очевидно, что от 4 до 7 к сумме суммируется 0 (т.к. значения функции из таблицы равны нулю).
Составим таблицу по прямому дискретному преобразованию:
зная, 
,
где 
, где 
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|
| 2,4 | 2 | 1 | 0 | 0.4 | 0 | 1 | 2 |
|
| 0.318 | 0.25 | 0.106 | 0 | 0.021 | 0 | 0.009 | 0 |
Табл. 2
Амплитудный
спектр 
Обратное преобразование
Обратимся к теории гл.1. Обратное преобразование- есть функция :
В нашем случаи это:
А теперь найдем модули 
и составим таблицу по обратным дискретным преобразованиям:
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|
| 0 | 0.785 | 1.571 | 2.356 | 3.142 | 3.927 | 4.712 | 5.498 |
|
| 0 | 0.707 | 1 | 0.707 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|
| 0 | 0.708 | 1 | 0.707 | 8e-4 | 5e-5 | 5e-4 | 3e-4 |
Табл. 3
Из приведенной таблицы видно, что 
приближенно равно .
Построим графики используя табл.3, где - это F(k), а - это f(k) рис. 6 :
Рис. 6
Вывод:
На основе проделанных расчетов можно заключить, что заданная функция представима в виде тригонометрического ряда Фурье, а также интеграла Фурье, полинома Лежандра и дискретных преобразований Фурье. О последнем можно сказать, что спектр (рис. 6) прямого и обратного преобразований совпадают с рассматриваемой функцией и расчеты проведены правильно.
