Линейные дифференциальные уравнения
Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение вида:
(1)
При q=0, уравнение называется однородным, q¹0 неоднородным.
y¢+py=q –дифференциальное уравнение первого порядка.
Обозначим левую часть уравнения (1) при q(x)=0 L(y)=>L(y)=0.
Отметим два свойства L(y).
L(y1+y2)=L(y1)+L(y2)
L(Cy)=CL(y) => множество решений линейно однородного дифференциального L(y) = 0 есть линейное пространство.
Линейная зависимость функций
Функции
y1,…,yn называются линейно зависимыми, если $ λ1,…,λn (|λ1|+…+|λn|¹0) такие что 
соответственно функции называются
линейно независимыми если не удовлетворяют уравнению (1) при любом 
.
Множество решений n-мерного дифференциального уравнения образуют базис, состоящий из линейно независимых функций.
Определитель Вронского.
Теорема 1:
Если
функции y1(x),…,yn(x)(все функции и их производные непрерывны и существуют до
n-1 го порядка) линейно зависимы, то 
=0.
Доказательство:
Так
как функции линейно зависимы, то после дифференциирования получим:
, 
Эта система имеет ненулевое решение
ó когда определитель этой системы равен 0. А этот определитель и есть
определитель Вронского.
Если W¹0, то функции линейно независимы.
