Функциональные ряды
Пусть 
– последовательность функций 
, все члены которой определены на одном и том
же множестве значений аргумента 
, 
.
Тогда выражение 
, 
, задающее последовательное суммирование членов последовательности,
называется функциональным рядом (сокр. ФР), множество 
— область задания ФР.
Например, 
– ФР с областью задания .
Проблематика:
понятие поточечной сходимости ФР (сокр. 
), область поточечной сходимости; сумма ФР;
сохранение свойств слагаемых ряда для его суммы;
понятие равномерной сходимости (сокр. ) ФР; свойства суммы, равномерно сходящегося ФР.
ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА
При каждом фиксированном значении 
ФР 
становится числовым рядом 
и его поведение поддается изучению (он может
быть сходящимся или расходящимся).
Областью сходимости (абсолютной сходимости) ФР , является множество тех 
, для которых соответствующий числовой ряд сходится,
т.е.
– число : 
.
Здесь 
– фиксированное число (точка) из области определения ФР,
– число, 
— 
-я частичная сумма числового ряда, 
.
Будем говорить, что ФР 
сходится поточечно к на множестве 
, и обозначать
.
По аналогии с числовым рядом можно сформулировать критерий Коши (поточечной сходимости ФР):
.
Для нахождения области поточечной сходимости ФР можно пользоваться рассмотренными ранее признаками сходимости числовых рядов.
ПРИМЕР 1. 
– сумма всех членов геометрической прогрессии, при 
, т.е. ФР сходится к 
для каждого
из интервала 
; для 
и для 
ряд расходится. Итак, область поточечной сходимости есть
интервал , сумма ряда 
, 
.
Замечаем: 1) область определения ряда 
не совпадает с областью сходимости ряда 
,
;
2) каждое слагаемое ряда 
– ограниченная на 
функция, а именно, 
, но сумма ряда на ограниченной не является, поскольку 
:
.
Итак, при поточечной сходимости ограниченность слагаемых ФР может не сохранится для его суммы.
