Линейные дифференциальные уравнения
Пример 1:
Покажем, что если определитель равен нулю, то функции необязательно линейно зависимы.
, 
Рассмотрим произвольную точку x0>0.
Теорема 2: Пусть 
решения уравнения 
и 
тогда 
Следствие: если 
хотя бы в одной точке (a,b) тогда " x '(a,b) W(x)¹0 и функции
линейно независимы.
Доказательство:
Так как W=0 в x0, то 
так как определитель =0 то его столбцы линейно
зависимы (их линейная комбинация равна 0). Значит
Рассмотрим функцию y=
L(y)=0, т.е. y- решение дифференциального уравнения.
С условиями: 
Решение 
удовлетворяет (1) но начальным условиям удовлетворяет
только одно решение (по теореме Коши о существовании единственного решения). y(x)
º 0 и – линейно зависимы
=> W = 0.
Пример 1:
y(n)=0 Решения:y1=1, y2=x, y3=x2,…,yn=xn-1
следовательно, функции линейно независимы.
Пример 2:
Значит функции sinx и cosx линейно независимы.
Пример 3:
, 
