Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка
L(y)=
(1)
Предположим, что найдена
ф.с.р. соответствующего однородного уравнения (L(y)=q(x)=0): 
Пространство решений неоднородного уравнения уже не является линейным пространством.
Теорема
*: Пусть 
- решение уравнения 
(1). Тогда любое другое решение этого уравнения 
имеет вид
, где 
- решение уравнения 
, т.е. однородного.
Любое решение Y однородного уравнения представляется в виде линейной комбинации ф.р.
Y=y–y0
=
, т.е. y = y0 +(общее решение неоднородного уравнения).
Нахождение частного решения неоднородного уравнения.
Оно почти всегда находится, если известна ф.с.р. соответствующего однородного уравнения.
Метод вариации постоянных
Вернемся к неоднородному уравнению
(1). Предположим, что мы можем найти
фундаментальную систему решений 
соответствующего однородного уравнения (2). Тогда, любое решение 
этого уравнения имеет вид: 
. Предположим также, что нам удалось
найти некоторое решение 
уравнения (1). По теореме *, любое решение 
этого уравнения имеет вид: 
(3). Итак, для нахождения всех решений
уравнения (1) требуется найти какое-то одно его решение 
. Для этого можно использовать метод
вариации постоянных, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в
виде 
(4), где - фундаментальная система решений
уравнения (2).
Тогда:
(домножаем и складываем уравнения.)
Пусть выражения в квадратных скобках равны нулю, кроме последней скобки, равной q. Тогда при сложении в первом столбце( и в последующих) получится ноль, но в последнем будет q(x).
Но это равенство выполняется только в случае выполнения
принятой нами системы условий, т.е. если найдены функции Сk (x), удовлетворяющие
этой системе условий(*), то функция y0 есть частное решение неоднородного уравнения.
Получили, таким образом, обычную систему (*) линейных уравнений, которая имеет
единственное решение, если не равен нулю определитель системы, т.е. определитель
Вронского. Для того, чтобы отыскать 
следует воспользоваться системой (*),
рассматривая ее как систему линейных уравнений относительно неизвестных 
с определителем 
.
≠0 Решения системы (*) можно найти по формулам Крамера.
интегрируем и находим искомые C1,…,Cn.
Пример:
Вычтем одно уравнение из другого: 
–частное решение неоднородного уравнения
–общее решение неоднородного уравнения.
