Пример . ФР 
состоит из непрерывных на 
функций, сходится при 
к 
; при 
представляет собой сумму всех членов убывающей геометрической
прогрессии при 
, поэтому ФР сходится к 
, т.е. 
не является непрерывной на ; точка – ее точка разрыва.
Итак, область поточечной сходимости рассмотренного ФР есть вся числовая
ось ; свойство непрерывности
слагаемых ФР не сохраняется для его суммы.
ПРИМЕР 3. ФР 
определен на множестве 
. Слагаемые ряда не образуют геометрическую прогрессию.
Поэтому проводим рассуждения в общем виде:
зафиксируем 
; получим числовой ряд 
. Он может быть знакопеременным. Поэтому рассматриваем
ряд из абсолютных величин 
– числовой положительнозначный ряд. Применим признак Коши
(радикальный) 
;
ряд сходится (абсолютно) при 
; ряд расходится при 
;
при 
проводим дополнительные
исследования:
– ряд расходится;
– ряд сходится.
Итак, область поточечной сходимости рассматриваемого ряда есть промежуток
.
ПРИМЕР 4. ФР 
знакоположителен и определен при 
, , но область поточечной сходимости его есть пустое множество,
поскольку для всякого фиксированного 
по признаку Д'Аламбера имеем 
при всяком фиксированном значении .
Таким образом, на примерах пронаблюдали:
структура области поточечной сходимости ФР может быть различной;
свойства слагаемых могут не сохраняться для его суммы при поточечной сходимости.
Заметим, однако, что при поточечной сходимости свойства периодичности, четности и нечетности слагаемых ФР сохраняются и для суммы ряда. Свойства ограниченности и непрерывности суммы ряда, возможность почленного интегрирования и дифференцирования ФР, составленного из непрерывных функций, гарантируются равномерной сходимостью ФР.
Непрерывность суммы степенного ряда
, D — область сходимости
2) Интегрирование суммы степенного ряда
, D — область сходимости
– радиус сходимости не меняется.
Дифференцирование суммы степенного ряда
, радиус сходимости при дифференцирование не меняется.
