Равномерная сходимость ряда
Пусть ФР 
, т.е. 
и 
для каждого 
, 
.
Тогда для всякого 
, 
, можно решать задачу приближенного нахождения 
,
а именно для 
(
— погрешность приближения) можно указать номер
такой, что при 
, т.е. 
с погрешностью .
В другой точке 
, 
, по той же погрешности приближение 
реализуется, вообще говоря, для другого 
,
и т.д.
Множество 
может содержать бесконечное множество точек 
, для каждой из них по одному и тому
же 
находится свой номер 
с указанными свойствами. Для бесконечного множества 
может не существовать такого 
, что 
сразу для всех . Это означает, что функция 
не является приближением суммы ФР 
на множестве 
с погрешностью .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сходящийся (поточечно) на множестве ФР 
называется равномерно сходящимся на множестве
, если 
,
здесь выполнение неравенства предполагается для всех из множества 
сразу (одновременно).
Поэтому для равномерно сходящегося на ФР имеем с одной и той же погрешностью, значение находится по погрешности.
ПРИМЕР 5. Покажем, что ФР 
равномерно сходится на 
(сокр. ФР 
).
В самом деле, при любом фиксированном 
ФР 
знакочередующийся удовлетворяет теореме Лейбница, поэтому
сходится; но сходится условно, т.к. ФР из абсолютных величин слагаемых исходного
ряда расходится.
Используя следствие теоремы Лейбница, получаем оценку
, 
.
Отсюда для всех сразу (одновременно)
при 
,
т.е. выполняется определение равномерной сходимости ФР на 
.
Замечание. Рассмотренный пример показывает, что понятия "равномерная сходимость ФР" и "абсолютная или условная поточечная сходимость ФР" не связаны.
КРИТЕРИЙ КОШИ (для равномерной сходимости ФР)
Пусть 
ФР . Тогда 
(см. [3], [4]).
Доказательство равномерной сходимости ФР на множестве можно проводить не только по определению,
но и с использованием достаточных условий равномерной сходимости ФР.
ТЕОРЕМА (признак Вейерштрасса)
Если для ФР 
, , существует числовой ряд 
такой, что 1) 
; 2) 
; 3) – сходится, то ФР 
.
Числовой ряд с указанными свойствами (знакоположительный, "оценочный"
и сходящийся) называется мажорантой для ФР , а сам ФР называется в этом случае мажорируемым
на множестве .
Доказательство. Сходимость ряда влечет выполнение критерия Коши (для числового ряда):
. Для соответствующего "отрезка" ФР по оценочному
свойству мажоранты имеем
, т.е. для ФР выполняется критерий
Коши и поэтому ФР 
.
ПРИМЕР 6. ФР из тригонометрических функций 
равномерно сходится на 
, поскольку для него числовой ряд 
является мажорантой на :
;
сходится; 
на .
Заметим, что признак Вейерштрасса определяет только достаточное условие
равномерной сходимости ФР. Существуют равномерно сходящиеся на множестве
функциональные ряды, для которых не существует мажоранты (пример 5).
