Теорема о почленном интегрировании
Пусть 
. Тогда если 1) 
; 2) 
, то
допустима операция "почленного интегрирования", т.е. 
.
Доказательство. Рассмотрим ряд 
, здесь существование интегралов следует из непрерывности
подынтегральных функций на 
, 
или 
.
Пусть 
– его 
-я частичная сумма, а 
. Тогда
. Из условия 2 имеем
.
Получаем
, т.е. ряд из интегралов
сходится (равномерно) к интегралу суммы исходного ФР.
Замечания. 1. Теорема может быть обоснована при требовании интегрируемости
(по Риману) функций 
на вместо требований их непрерывности на .
2. Если один из пределов интегрирования переменный (как в рассматриваемой ситуации), то после почленного интегрирования получаем ФР и он сходится равномерно к интегралу от суммы исходного ряда. Если же оба предела интегрирования — постоянные, то речь идет о сходимости числового ряда к числу, равному значению определенного интеграла от суммы исходного ряда.
3. Формула почленного интегрирования ФР может быть записана в виде 
,
показывающем, что для равномерно сходящегося ряда допустима перестановка операций
предельного перехода при 
и интегрирования на любом отрезке внутри .
ТЕОРЕМА (о почленном дифференцировании)
Пусть 
. Тогда если 1) 
; 2)
; 3) 
, то 
.
Доказательство. На основе условий 1 и 3 проведем почленное интегрирование ряда "из производных", получим
, или 
,
или 
для 
.
Продифференцируем последнее тождество, получим требуемое соотношение.
Замечание. Условие 3 теоремы является существенным, так как из сходимости
ряда из функций не следует, вообще говоря, сходимость ряда из производных
функций. Например, ФР 
сходится абсолютно и равномерно, но для ФР 
не выполняется необходимое условие
сходимости, и ряд расходится. Операция почленного дифференцирования к рассматриваемому
ряду не применима.
