Функциональные ряды в комплексной области
Понятия последовательности 
функций комплексной переменной (сокр. ФКП), ФР ФКП 
и его поточечной сходимости вводятся аналогично этим понятиям в действительной
области. Область определения, область сходимости строятся на 
–плоскости.
ПРИМЕР 7. ФР 
определен на всей –плоскости, но сходится поточечно на множестве 
,
поскольку ФР
поточечно сходится (абсолютно) при любом 
(достаточно применить признак Д'Аламбера к 
при 
– фиксированном); ФР 
поточечно сходится (абсолютно) на 
как сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии.
Одной из основных задач, решаемых для ФР ФКП, является так же, как и для ФР в действительной области, выявление условий, при которых какое-либо функциональное свойство слагаемых ряда переносится на его сумму.
Понятия периодичности, четности и нечетности, ограниченности, непрерывности в точке и непрерывности на множестве для ФКП вводятся аналогично соответствующим понятиям для функций действительного переменного, только вместо абсолютных величин следует использовать модули комплексных значений.
Понятие равномерной сходимости и обоснование теорем о свойствах суммы равномерно сходящихся ФР ФКП вводятся аналогично рассмотренным ранее (см. [5], [7]).
Таким образом, применимость арифметических действий (сложение, вычитание, умножение на число, умножение рядов) по отношению к ФР ФКП обеспечивается их абсолютной (поточечной) сходимостью в общих точках. Применимость действий анализа (переход к пределу, дифференцирование, интегрирование) требует равномерной сходимости рядов на общем множестве.
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ
Задача 1. Для функционального ряда нужно уметь находить область поточечной сходимости.
ПРИМЕР. Пусть ФР задан в виде 
. Найдем область его поточечной сходимости.
Решение. 
. Положительнозначный ряд 
сравним с рядом 
– сходится (
для 
).
Итак, исходный ФР сходится (поточечно) на 
, а также сходится равномерно на в силу наличия мажоранты.
Задача 2. Наличие равномерной сходимости ФР устанавливается либо по определению, либо через построение мажоранты.
ПРИМЕР. Построить мажоранту для ФР 
на 
, сделать выводы о сходимости ряда.
Решение. Имеем 
, т.е. 
. Поэтому для ряда 
существует мажоранта: числовой положительнозначный оценочный
на 
ряд 
(сходимость этого ряда устанавливается по интегральному
признаку). Поэтому исходный ряд на 
сходится абсолютно и равномерно.
Задача 3. С помощью ФР иногда вводится функция, как его сумма; по слагаемым ряда устанавливается свойства суммы ФР.
ПРИМЕР. Функция "дзэта от " 
существует там, где ряд поточечно сходится, т.е. на 
,
где 
– произвольное, в том числе сколь угодно
малое положительное число. Равномерная сходимость ряда имеет место на 
при 
, поскольку числовой ряд 
сходится и является мажорантой для
исходного ряда на 
. Соответственно теоремам о свойствах суммы равномерно
сходящегося ряда функция 
непрерывна, дифференцируема и интегрируема на 
.
