Равномерная сходимость
Пусть 
, 
. Возьмем 
. Тогда ряды 
и 
сходятся; для всех 
ряд является мажорантой. По признаку Вейерштрасса
исходный ряд равномерно сходится на 
.
Таким образом, всякий степенной ряд 
, сходящийся на 
, равномерно сходится на любом сегменте 
, вложенном в интервал сходимости 
(достаточно взять 
).
Комплекснозначный степенной ряд 
, сходящийся на 
, равномерно сходится на всяком замкнутом подмножестве
этого круга сходимости.
Некоторые свойства суммы степенного ряда
Пусть 
. Используя теоремы о свойствах суммы равномерно сходящегося
ряда, можно сформулировать следующие свойства функции 
.
1. Область определения функции совпадает с областью поточечной сходимости ряда, т.е.
.
2. На 
– ограниченная функция.
3. На – непрерывная функция; в самом деле, для 
такой, что 
и на равномерно непрерывна, а значит, непрерывна на ,
т.е. непрерывна в каждой точке сегмента,
в том числе и в точке 
. В силу произвольности точки получаем непрерывность на .
4. Для любых точек 
и 
на 
; в частности, при 
и 
получаем новый степенной ряд с известной
его суммой 
. Значение радиуса сходимости степенного ряда, полученного
почленным интегрированием, сохраняется, поскольку 
.
5. Операция почленного дифференцирования степенного ряда 
приводит к степенному ряду 
,
; значение радиуса сходимости не изменяется.
Замечание. Операция почленного интегрирования, как правило, "улучшает"
сходимость получающегося ряда. В частности, для степенного ряда множество
точек сходимости может расшириться за счет присоединения к
точек 
или 
.
Операция почленного дифференцирования, как правило, "ухудшает"
сходимость получающегося ряда. Так, для нового степенного ряда сходимость
в точках или может пропасть.
ПРИМЕР 3. Для ряда 
область сходимости есть промежуток 
. После почленного интегрирования получаем
степенной ряд 
, его область сходимости — сегмент 
; почленное дифференцирование исходного
ряда приводит к ряду 
, его область сходимости — интервал 
.
Пример иллюстрирует замечание.
