Разложение функций в степенные ряды
Пусть задана функция 
, имеющая определенные свойства в этой окрестности.
Ранее известна формула Тейлора 
, представляющая функцию 
в виде суммы многочлена заданного порядка 
по степеням разности 
– многочлена
Тейлора –
и остаточного члена 
– погрешности приближения 
.
Если функция в 
имеет непрерывные производные 
и для нее существует 
в , то 
(имеет "форму Лагранжа"), где точка 
расположена между 
и 
.
При 
многочлен 
переходит в степенной ряд. Сохранится ли равенство в формуле Тейлора, зависит
от поведения при .
Интуитивно ясно, что если 
, то ряд 
; если же 
, то ряд 
.
Для всякой бесконечное множество раз дифференцируемой в 
функции можно решать следующие вопросы.
Проблематика:
1) построение ряда Тейлора 
~
(функция "порождает" ряд);
2) поточечная сходимость ряда Тейлора к 
, область сходимости;
3) связь функций и .
Пример 2:
При произвольной перестановке членов условно сходящегося ряда его сумма может изменяться:
;
Теорема Римана (без доказательства).
Теорема:
Пусть дан условно сходящийся ряд
. Тогда: 
перестановка слагаемых, такая, что 
