Разложение функций в степенные ряды ПРИМЕР 4. Пусть 
Тогда 
; 
, 
– считается аналогично; и вообще 
.
Получаем: 1) 
~
, 
;
2) 
, ;
3) 
на 
.
Пример показывает, что существуют функции, для которых "порожденный" ими ряд Тейлора сходится, но не к исходным функциям.
Рассмотрим одно из возможных достаточных условий представления (разложения) функции ее рядом Тейлора.
ТЕОРЕМА. Пусть для 
, 
, 
:
1) при 
; 2) 
, , 
.
Тогда ряд Тейлора функции по степеням разности 
сходится к функции
на 
, т.е.
, .
(*)
Доказательство. Оценим
,
здесь 
, так как 
лежит между 
и 
, , 
; число 
, – фиксированная точка. При 
(см. аналогичный пример в типовых задачах к п.1), поэтому
при всяком .
Формула (*) обоснована при условиях теоремы.
ПРИМЕРЫ разложения функций в степенные ряды
1. 
удовлетворяет условиям
теоремы (о достаточных условиях разложения):
1) 
, ;
2) 
:
, 
, 
.
Верна формула
, 
.
(Ряд Тейлора при 
иногда называют рядом Маклорена).
Записанное тождество верно поточечно на , 
; равномерная сходимость на 
.
2. 
разложение получим, если
воспользуемся операцией почленного дифференцирования для предыдущего ряда.
, ,
здесь ; равномерная сходимость на .
