Рассмотрим ряд 
, можно вычислить радиус сходимости 
, т.е. на 
. После почленного дифференцирования получим 
, т.е. функция 
– решение задачи Коши ДУ 
или 
. Итак, имеем
, 
.
4. Функция 
– гиперболический синус аргумента 
– вводится равенством 
; проведя арифметические операции над
разложением 
получим
, .
5. Для гиперболического косинуса 
имеем разложение по степеням
, .
6. Биномиальный ряд. Рассмотрим разложение 
— любое действительное число.
Заметим сразу, что при 
по формуле бинома Ньютона имеем представление функции
многочленом степени
по степеням .
Поэтому в дальнейшем, предполагаем 
. Проводим вычисления: 
;
; 
и, в общем случае, 
.
Итак,
~
.
Построенный степенной ряд имеет интервал сходимости 
, где 
, т.е. построенный ряд на 
сходится к некоторой функции .
Совпадение и 
следует из условия 
(см. подробно [3]). Итак, при 
Ряды Тейлора для основных элементарных функций
Приведем разложения основных элементарных функций в ряд Тейлора.
1) 
, 
=>
Проинтегрировав в пределах от 0 до x, получим:
сходится при 
, в частности:
