Задача . Уметь находить промежуток сходимости степенного ряда.
ПРИМЕР. Для ряда 
найти область сходимости; провести операции почленного
интегрирования и дифференцирования этого ряда, уточнить область сходимости
полученных рядов.
Решение. 
, для всякого 
при 
ряд сходится (поточечно и абсолютно); при 
ряд запишется 
— сходится по теореме Лейбница, при 
имеем 
– расходится, поскольку
расходится ряд 
, но 
для 
. Итак, 
– промежуток сходимости исходного ряда.
После интегрирования получаем ряд 
, радиус сходимости сохраняется 
. Поведение ряда в граничных точках:
при 
– сходится (по теореме Лейбница); при
– расходится, поскольку 
, а ряд 
расходится по интегральному признаку.
Итак, видим, что в данном случае (значит НЕ ВСЕГДА!) операция интегрирования не улучшила область сходимости.
После дифференцирования получаем ряд 
с ; при и ряды расходятся, поскольку не выполняется НЕОБХОДИМОЕ
условие сходимости: 
.
Итак, после дифференцирования промежуток сходимости "ухудшился",
так как новый ряд сходится на 
.
Задача 2. Разложение функции в степенной ряд.
Условия и примеры разложения функции в степенной ряд по степеням разности
(в ряд Тейлора) уже рассмотрены
(разложение по определению). Причем такой ряд для функции единственен, поскольку
единственным образом вычисляются коэффициенты ряда Тейлора.
Иногда из каких-либо соображений известно (или получено) тождество 
,
, тогда, очевидно, ряд, стоящий справа в тождестве,
является рядом Тейлора 
в 
. Поэтому разложение функции в степенной ряд Тейлора можно
проводить не только по определению, но и "искусственными" приемами:
(*) проводим разложение функции, подгоняя выражение под формулу 
при 
, например, для 
имеем 
, 
.
Уточняем поведение ряда на концах интервала сходимости при 
, получаем промежуток сходимости 
;
(**) получаем разложение для 
с помощью "эталонных" (известных) разложений.
Например, для 
имеем
, 
;
(***) с помощью арифметических операций над рядами, их дифференцирования
и интегрирования. Например, разложение 
получим преобразованиями 
и т.д. Здесь использованы арифметические
операции над известными рядами; получили степенной ряд по степеням разности
; его область сходимости — пересечение областей сходимости
используемых рядов; в рассматриваемом примере — вся числовая ось.
Для 
можно применить операцию
дифференцирования ряда, а именно 
, 
.
