Задача . Представление степенными рядами первообразных "неберущихся" интегралов, т.е. тех интегралов, первообразные которых не выражаются через элементарные функции.
ПРИМЕР. Для 
его первообразная
, 
;
.
Задача 4. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях основано
на замене точного значения суммы ряда (обычно неизвестном) на его частичную
сумму, т.е. 
, с соответствующей оценкой погрешности этой замены (см.
задачи к разделу 1).
Иногда вычислить значение функции 
в точке 
, где 
– достаточно малое, можно, применяя фактически формулу
Тейлора, т.е. 
. Оценка погрешности
может быть проведена по остаточному члену формулы Тейлора 
, где значение 
расположено между 
и 
.
ПРИМЕР. Вычислить 
, взяв 
в соответствующем разложении в степенной ряд функции 
.
Решение. Преобразуем выражение к виду, позволяющему использовать биномиальный ряд, а именно
; при 
,
имеем
.
Отсюда 
с погрешностью, не превышающей значения 
.
Итак, вычислили 
с погрешностью 
.
ПРИМЕР. Вычислить приближенно значение интеграла 
с погрешностью 
.
Решение. Имеем 
.
После интегрирования получаем
.
Поскольку ряд знакочередующийся, то 
. Потребуем 
; подберем 
, удовлетворяющее неравенству 
. Итак, 
; отсюда 
с .
Пример:
=> 
Теорема: Пусть 
и 
; тогда 
Доказательство: По формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа получим:
Теорема доказана.
