Элементарные функции комплексной переменной (сокр. ФКП)
К элементарным ФКП относятся следующие функции: степенная, показательная,
тригонометрические, гиперболические; функции, обратные к указанным. Функции,
получающиеся из перечисленных в результате суперпозиций, арифметических действий,
действий возведения в степень и извлечения корня "
"-й степени, обычно тоже называются элементарными
(см. [5], [7]).
Рациональные ФКП
ЦЕЛАЯ рациональная ФКП — многочлен вида
,
где 
, 
,
— действительные или комплексные числа, определена и непрерывна всюду на 
– плоскости, имеет "" нулей, 
.
ДРОБНО-рациональная ФКП — отношение многочленов 
– определена и непрерывна всюду на
– плоскости, кроме точек —
нулей знаменателя; нули функции 
совпадают с нулями многочлена 
, стоящего в числителе. В окрестности
точки разрыва либо ограниченная, либо неограниченная соответственно
тому, равно конечному числу или 
значение 
.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФКП.
ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА
ФКП 
, 
,
определяются как суммы соответствующих степенных
рядов
;
;
.
Легко проверить, что каждый из этих рядов имеет бесконечный радиус сходимости,
т.е. область определения сумм этих рядов есть – плоскость (при 
функции не определены).
Связь между ФКП 
, , определяется формулами (тождествами) Эйлера:
, 
,
, 
.
Свойства ФКП 
. 2.
.
3. При 
имеем 
– ряд Тейлора действительной показательной функции 
по степеням 
, известный ранее, т.е. можно сказать,
что ФКП есть (аналитическое)
продолжение на – плоскость
действительной функции .
Для любых комплексных чисел 
и 
справедливо равенство
.
В самом деле, для всяких и имеем
(ряды сходятся абсолютно и их можно перемножать как многочлены)
;
здесь в каждой строке записан (схематично) результат умножения слагаемого первого ряда на второй ряд; суммирование полученных слагаемых проведено подиагонально.
В частности, 
, т.е. 
; 
.
; 
,
.
не имеет нулей, так как
, а 
и 
одновременно не обращаются в нуль.
– периодическая ФКП, множество
периодов есть 
, 
, так как 
при любом целом значении 
.
Таким образом, для ФКП некоторые свойства функции сохраняются (значение в нуле, отсутствие нулей,
совпадение функций со своей производной и т.д.); некоторые свойства не сохраняются
(нельзя говорить, например, о графике ФКП, о монотонности ее, о знаке значений
); добавляются новые свойства
ФКП (например, связь с тригонометрическими ФКП, периодичность),
не имеющие аналога в действительной области.
Заметим, что иногда обозначают 
.
