ФКП
ПРИМЕР 1. Вычислить приближенно 
.
Решение. Имеем 
(схематично изображено на рисунке точкой 
; 
;
.
ПРИМЕР 2. Найти образ при 
1) прямой 
, 
; 2) прямой 
,
.
Решение. Пусть 
и , т.е. 
, 
. Тогда всякая точка 
на 
– плоскости отображается функцией в точку 
на 
— плоскости.
1. На прямой точки имеют координаты 
, поэтому они отображаются ФКП в точки с координатами 
расположенные на окружности 
.
2. На прямой каждая точка имеет координаты 
, 
– любое, и отображается в точку с координатами
они расположены на луче 
.
Таким образом, с помощью прямолинейная прямоугольная "сетка" на плоскости
, образованная двумя семействами прямых 
, 
(
и 
– например, целые числа), отображается в совокупность
окружностей и лучей, образующих криволинейную "прямоугольную" сетку
на плоскости 
. Линии этой "сетки" можно рассматривать, как
координатные линии соответствующей криволинейной системы координат. В нашем
случае — полярной системы координат 
, где 
, 
.
Свойства 
и 
1. При 
функции 
и 
представляются рядами Тейлора, известными ранее; говорят,
что ФКП и получены в результате (аналитического) продолжения на
– плоскость соответствующих
функций действительной переменной.
2. – нечетная,
— четная ФКП на – плоскости.
3. ,
— периодические ФКП с множеством периодов 
,
; 
– наименьший положительный период.
4. Можно показать, что справедливы все формулы тригонометрии для тригонометрических функций ФКП.
5. 
при 
,
; 
при 
, 
; нули ФКП и расположены на оси 
и совпадают с нулями и (на оси )
В самом деле, 
Аналогично для 
.
6. Функции 
и 
не являются ограниченными на – плоскости; например, при 
имеем 
и при 
, т.е. 
.
7. Имеет место равенство
,
аналогичное так называемому "первому замечательному пределу" в действительной области.
Итак, снова не все свойства функций 
и 
сохраняются для ФКП и (например, нельзя говорить о геометрических свойствах
функций, в частности, об ограниченности), появляются новые свойства. Так,
формулы Эйлера — связи тригонометрических функций и показательной функции
— не имеют аналогов в действительном анализе.
ПРИМЕР 3. Доказать формулу
.
Решение. Воспользуемся формулами Эйлера, получаем
.
ПРИМЕР 4. Вычислить 
.
Решение. Аналогично (см. пример 3) можно вывести формулу 
, пользуясь которой получаем
(значение синуса больше единицы!).
Функции 
, 
вводятся через и ; их свойства анализируются с использованием свойств
и .
