ТЕОРЕМА. Пусть функция 
интегрируема на 
и разложена в тригонометрический ряд
, 
, (4)
причем допустимо почленное интегрирование этого
ряда и рядов, получающихся из него умножением на 
и 
, 
. Тогда 1) – 
– периодическая функция; 2)
коэффициенты разложения 
находятся единственным образом;
3) 
.
Доказательство. 1. Из равенства (4) имеем
для всякого 
,
т.е.
— периодическая функция с периодом 
.
2. Обозначим период через 
, тогда 
, 
.
Для нахождения 
проинтегрируем равенство (4) на .
Поскольку для любого целого 
имеем
, 
, (5)
то получаем 
,
т.е.
. (6)
Для нахождения 
интегрируем равенство (4), предварительно умножив
обе части его на 
. Тогда
.
Если 
,
то
.
При 
имеем
.
Интеграл 
равен нулю при любых целых значениях 
и , поскольку подынтегральная функция нечетная, а
отрезок
интегрирования симметричен относительно 
. Окончательно
получаем 
или
, . (7)
Для нахождения 
, аналогично интегрируем на функции равенства (4), умножив
их предварительно на 
.
Получим
. (8)
Предположение о допустимости почленного интегрирования используемых рядов позволяет находить коэффициенты разложения (4) единственным образом.
