или 
. Интуитивно ясно, что
равенство возможно лишь при одновременном стремлении нулю последовательностей
и 
при 
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть 
–периодическая функция и для нее существуют
интегралы, определяющие числа 
. Тогда члены последовательностей 
и 
называются коэффициентами Фурье
(Фурье — Эйлера) функции , а тригонометрический ряд
,
коэффициенты которого являются коэффициентами
Фурье функции , называется тригонометрическим рядом Фурье функции
(сокр. ТРФ функции ).
ТРФ функции может сходиться на 
к , может сходиться на , но не к , может быть расходящимся.
Поэтому до тех пор, пока не изучено поведение этого ряда, нельзя ставить знак
"=" между функцией и ее ТРФ. Будем записывать
и говорить "функция порождает тригонометрический ряд
Фурье".
ПРИМЕР 1. Пусть 
– периодическая функция 
задана на 
соотношением
и представлена схематично графиком.
Построим ТРФ функции .
Решение. Функция является интегрируемой на 
, так как она кусочно постоянная
на . Очевидно, 
.
Используя формулы, получаем 
;
;
.
Поэтому 
.
Замечание. 1. Последовательность тригонометрических функций
в дальнейшем будем записывать в виде 
и
называть системой тригонометрических функций или тригонометрической системой (ТС). Формулы (5), а также
, 
;
, 
;
, 
выражают свойства ортогональности этой системы
функций: на
отрезке периодичности интеграл от произведения каждой пары
различных функций равен нулю, а интеграл от квадрата каждой функции нулю не
равен.
2. Условия теоремы не являются достаточными для
разложимости функции
в тригонометрический ряд, т.е. для произвольно взятой –периодической функции равенство (4) может
не выполняться, хотя коэффициенты Фурье этой функции, вычисляемые по формулам
(6) — (8), существуют.
ТРФ существует не только для
непрерывной на
функции. Он может существовать и для функций, имеющих точки разрыва.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется кусочно-непрерывной
на 
, если можно
указать такое разбиение отрезка на
конечное число промежутков, что на каждом промежутке функция непрерывна и существуют конечные
лево- и правосторонний пределы функции в каждой точке разбиения.
График кусочно-непрерывной
функции состоит из конечного числа непрерывных дуг. Точки разрыва кусочно-непрерывной
функции — обязательно точки разрыва первого рода, причем на – их
конечное число. По свойствам определенного интеграла кусочно-непрерывная на
функция является интегрируемой
на функцией.
В общем случае для существования
ТРФ –периодической функции
обычно предполагают функцию абсолютно-интегрируемой на 
, т.е. такой, что интегралы
и 
существуют (имеют конечные значения)
в собственном или несобственном смыслах. Заметим, что множество всех абсолютно
интегрируемых на функций не исчерпывается множеством всех непрерывных
и кусочно-непрерывных на функций.
3. Если функция не является периодической и задана лишь на ,
то можно ввести периодическое продолжение этой функции на всю числовую ось,
т.е. 
– периодическую
функцию 
, определенную на , и такую, что 
на .
ТРФ функции и
является ТРФ функции на .
Если 
, то построение периодического продолжения
не вызывает затруднений. Но если же 
, то построить можно, лишь изменив значение функции
либо при 
,
либо при 
. Такое
изменение допустимо, поскольку изменение значений функции на конечном множестве
точек отрезка не влияет на значение интегралов в формулах (6)
— (8), т.е. не влияет на вид ТРФ функции .
Но можно поступить иначе:
будем считать, что является
–периодическим
продолжением функции , заданной на 
– промежутке периодичности функции .
