Тригонометрические рыды Фурье для четных и нечетных функций
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть 
– множество точек числовой оси,
симметричное относительно 
. Тогда функция 
, определенная
на , называется
четной на функцией, если выполнено условие
;
нечетной на 
функцией, если выполнено условие
.
Напомним некоторые свойства четных и нечетных функций.
1. Произведение двух четных
на функций есть функция,
четная на ; произведение
двух нечетных на функций есть функция, четная на ; произведение четной на
функции на функцию, нечетную на , есть нечетная на функция.
2. Если четная на 
функция интегрируема
на 
, то справедливо
равенство
.
3. Если нечетная на
функция интегрируема
на , то справедливо
равенство
.
Эти свойства упрощают нахождение коэффициентов Фурье функции, превращают ТРФ в ряд, содержащий только либо косинусы, либо только синусы кратных дуг.
Пусть 
–периодическая функция – четная на . Тогда функция 
– также четная на , функция 
– нечетная на . Поэтому коэффициенты Фурье
четной на функции имеют вид
, 
, 
; 
. (11)
Для четной на функции ТРФ имеет вид
, (12)
содержит только косинусы углов и постоянную составляющую.
Пусть –периодическая функция – нечетная на .
Тогда функция 
— нечетная на ,
– четная на .
Поэтому коэффициенты Фурье нечетной на функции имеют вид
, , 
, 
. (13)
Для нечетной на функции ТРФ
(14)
содержит только синусы углов.
ПРИМЕР 8. Разложить в ТРФ функцию 
. Пользуясь этим разложением,
вычислить сумму ряда 
.
Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле
на 
. Период функции 
, она является четной; согласно
(11) имеем 
; 
.
Итак, получаем разложение
, 
.
Отсюда при 
имеем
или 
.
ПРИМЕР 9. Разложить в ТРФ периодическую функцию
, 
, если 
, 
.
Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы
Дирихле, является нечетной на 
.
Поэтому она разложима в ТРФ вида (15) при 
, причем ; , 
.
Итак, имеем 
; в точках разрыва сумма ряда равна нулю.
